Étude d'une fonction - Application économique - Bac ES Métropole 2009

Exercice 4

6 points - Commun à tous les candidats

Partie A : Étude d'une fonction

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0,5; 8] par $f\left(x\right) = 20\left(x - 1\right)\text{e}^{ - 0,5x}$ .

On note $f^{\prime}$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle [0,5; 8]

1. Démontrer que pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle [0,5; 8]
  
  $f^{\prime}\left(x\right) = 10\left( - x + 3\right)\text{e}^{ - 0,5x}$
2. Étudier le signe de la fonction $f^{\prime}$ sur l'intervalle [0,5; 8] et en déduire le tableau de variations de la fonction $f$ .
Construire la courbe représentative $\left(C\right)$ de la fonction $f$ dans le plan muni d'un repère orthogonal (O; veci, vecj).

On prendra pour unités graphiques 2cm sur l'axe des abscisses et 1cm, sur l'axe des ordonnées.
Justifier que la fonction $F$ définie sur l'intervalle [0,5; 8] par $F\left(x\right) = \frac{ - 40\left(x + 1\right)}{\text{e}^{x}}$ est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle [0,5; 8].
Calculer la valeur exacte de l'intégrale $I = \int_{1,5}^{5} f\left(x\right) \text{d}x$ .

Partie B : Application économique

Une entreprise produit sur commande des bicyclettes pour des municipalités.

La production mensuelle peut varier de 50 à 800 bicyclettes.

Le bénéfice mensuel réalisé par cette production peut être modélisé par la fonction $f$ de la partie A de la façon suivante :

si, un mois donné, on produit $x$ centaines de bicyclettes, alors $f\left(x\right)$ modélise le bénéfice, exprimé en milliers d' euros, réalisé par l'entreprise ce même mois.

Dans la suite de l'exercice, on utilise ce modèle.

1. Vérifier que si l'entreprise produit 220 bicyclettes un mois donné, alors elle réalise ce mois-là un bénéfice de 7 989 euros.
2. Déterminer le bénéfice réalisé par une production de 408 bicyclettes un mois donné.
Pour cette question, toute trace de recherche même non aboutie sera prise en compte

Répondre aux questions suivantes en utilisant les résultats de la partie A et le modèle précédent.

Justifier chaque réponse.
1. Combien, pour un mois donné, l'entreprise doit-elle produire au minimum de bicyclettes pour ne pas travailler à perte ?
2. Combien, pour un mois donné, l'entreprise doit-elle produire de bicyclettes pour réaliser un bénéfice maximum. Préciser alors ce bénéfice à l'euro près.
3. Combien, pour un mois donné, l'entreprise doit-elle produire de bicyclettes pour réaliser un bénéfice supérieur à 8 000 euros ?

Corrigé

Partie A

1. $f$ est le produit de deux fonctions dérivables sur [0,5; 8] :
  
  $u\left(x\right)=20\left(x - 1\right)$
  
  $u^{\prime}\left(x\right)=20$
  
  $v\left(x\right)=e^{ - 0,5x}$
  
  $v^{\prime}\left(x\right)= - 0,5e^{ - 0,5x}$
  
  On a donc :
  
  $f^{\prime}\left(x\right)=u^{\prime}\left(x\right)v\left(x\right)+u\left(x\right)v^{\prime}\left(x\right)$
  
  $f^{\prime}\left(x\right) = 20e^{ - 0,5x}+20\left(x - 1\right)\times - 0,5e^{ - 0,5x}$
  
  $f^{\prime}\left(x\right) = 20e^{ - 0,5x}\left(1,5 - 0,5x\right)$
  
  $f^{\prime}\left(x\right) = 10e^{ - 0,5x}\left(3 - x\right)$
2. $10e^{ - 0,5x} > 0$ sur $\left[0,5; 8\right]$ donc $f^{\prime}\left(x\right)$ est du signe de $3 - x$
  
  On obtient le tableau de variations suivant :
  
  $Exercice$
$F$ est le quotient de deux fonctions u et v dérivables sur [0,5; 8] (et v est non nulle sur [0,5; 8])

$u\left(x\right)= - 40\left(x+1\right)$

$u^{\prime}\left(x\right)= - 40$

$v\left(x\right)=e^{0,5x}$

$v^{\prime}\left(x\right)=0,5e^{0,5x}$

Donc :

$F^{\prime}\left(x\right)=\frac{u^{\prime}\left(x\right)v\left(x\right) - u\left(x\right)v^{\prime}\left(x\right)}{v\left(x\right)^{2}}$

$F^{\prime}\left(x\right) = \frac{ - 40e^{0,5x}+40\left(x+1\right)\times 0,5e^{0,5x}}{\left(e^{0,5x}\right)^{2}}$

$F^{\prime}\left(x\right) = \frac{20\left(x - 1\right)e^{0,5x}}{e^{x}}$

$F^{\prime}\left(x\right) = 20\left(x - 1\right)e^{ - 0,5x}=f\left(x\right)$

Donc $F$ est une primitive de $f$ sur [0,5; 8].
$I=\int_{1,5}^{5}f\left(x\right)dx=F\left(5\right) - F\left(1,5\right)= - 240e^{ - 2,5x}+100e^{ - 0,75}$

Partie B

1. $f\left(2,2\right)=20\times \left(2,2 - 1\right)e^{ - 0,5\times 2,2}=24e^{ - 1,1}\approx 7,989$
  
  Le bénéfice réalisé par la production de 220 bicyclettes est 7 989€
2. $f\left(4,08\right)=61,6e^{ - 2.04}\approx 8,01$
  
  Le bénéfice réalisé par la production de 408 bicyclettes est 8 010€
1. L'entreprise fait des bénéfices si et seulement si $f\left(x\right) > 0$ .
  
  Or $20e^{ - 0,5x} > 0$ sur [0,5; 8] donc $f\left(x\right)$ est du signe de $x - 1$ et $f\left(x\right) > 0 \Leftrightarrow x > 1$
  
  L'entreprise doit produire au moins 100 bicyclettes par mois pour réaliser des bénéfices.
2. D'après la partie A, la fonction $f$ atteint son maximum pour $x = 3$
  
  L'entreprise doit donc produire 300 bicyclettes pour réaliser un bénéfice maximum de $1000\times f\left(3\right)\approx 8 925$ €
3. On sait d'après la question 1. que $f\left(2,2\right) < 8$ et $f\left(4,08\right) > 8$ .
  
  On vérifie à la calculatrice que $f\left(2,21\right) > 8$ et $f\left(4,09\right) < 8$
  
  Graphiquement ou d'après le tableau de variation de $f$ on en déduit que l'entreprise doit produire entre 221 et 408 bicyclettes pour réaliser un bénéfice supérieur à 8 000€

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