(D'après Bac ES Métropole 2009)
Soit f une fonction définie et dérivable sur l'intervalle \left[- 2 ; 5\right], décroissante sur chacun des intervalles \left[-2 ; 0\right] et \left[2 ; 5\right] et croissante sur l'intervalle \left[0 ; 2\right].
On note f^{\prime} sa fonction dérivée sur l'intervalle \left[- 2 ; 5\right].
La courbe \left(\Gamma \right) représentative de la fonction f est tracée ci-dessous dans le plan muni d'un repère orthogonal. Elle passe par les points A\left(- 2; 9\right), B\left(0; 4\right), C\left(1;4,5\right), D\left(2;5\right) et E\left(4; 0\right).
En chacun des points B et D. la tangente à la courbe \left(\Gamma \right) est parallèle à l'axe des abscisses.
On note F le point de coordonnées \left(3; 6\right).
La droite \left(CF\right) est la tangente à la courbe \left(\Gamma \right) au point C.
- À l'aide des informations précédentes et du graphique ci-dessus, préciser sans justifier :
- les valeurs de f\left(0\right), f^{\prime}\left(1\right) et f^{\prime}\left(2\right).
- le signe de f^{\prime}\left(x\right) suivant les valeurs du nombre réel x de l'intervalle \left[- 2; 5\right].
- le signe de f\left(x\right) suivant les valeurs du nombre réel x de l'intervalle \left[- 2; 5\right].
- On considère la fonction g définie par g\left(x\right)=\ln \left(f\left(x\right)\right) où \ln désigne la fonction logarithme népérien.
- Expliquer pourquoi la fonction g est définie sur l'intervalle \left[- 2; 4\right[.
- Calculer g\left(-2\right), g\left(0\right) et g\left(2\right).
- Préciser, en le justifiant, le sens de variations de la fonction g sur l'intervalle \left[- 2; 4\right[.
Corrigé
-
- f\left(0\right)=4
f^{\prime}\left(1\right)=\frac{3}{4}
f^{\prime}\left(2\right)=0 -
-
- f\left(0\right)=4
-
- g est définie si et seulement si f\left(x\right) > 0 donc si et seulement si x\in \left[-2; 4\right[
- g\left(-2\right)=\ln\left(f\left(-2\right)\right)=\ln9=2\ln3
g\left(0\right)=\ln\left(f\left(0\right)\right)=\ln4=2\ln2
g\left(2\right)=\ln\left(f\left(2\right)\right)=\ln5 - Sur \left[-2; 4\right[, g^{\prime}\left(x\right)=\frac{f^{\prime}\left(x\right)}{f\left(x\right)} (voir Formule de dérivation)
La fonction f étant positive sur [-2; 4[ g^{\prime}\left(x\right) est du signe de f^{\prime}\left(x\right).
g est donc strictement croissante sur \left[0; 2\right] et strictement décroissante sur \left[-2; 0\right] et sur \left[2;4\right[.