[Bac] Lecture graphique – Fonction logarithme

(D’après Bac ES Métropole 2009)
Soit f une fonction définie et dérivable sur l’intervalle \left[- 2 ; 5\right], décroissante sur chacun des intervalles \left[-2 ; 0\right] et \left[2 ; 5\right] et croissante sur l’intervalle \left[0 ; 2\right].
On note f^{\prime} sa fonction dérivée sur l’intervalle \left[- 2 ; 5\right].
La courbe \left(\Gamma \right) représentative de la fonction f est tracée ci-dessous dans le plan muni d’un repère orthogonal. Elle passe par les points A\left(- 2; 9\right), B\left(0; 4\right), C\left(1;4,5\right), D\left(2;5\right) et E\left(4; 0\right).
En chacun des points B et D. la tangente à la courbe \left(\Gamma \right) est parallèle à l’axe des abscisses.
On note F le point de coordonnées \left(3; 6\right).
La droite \left(CF\right) est la tangente à la courbe \left(\Gamma \right) au point C.

1. À l’aide des informations précédentes et du graphique ci-dessus, préciser sans justifier :
   1. les valeurs de f\left(0\right), f^{\prime}\left(1\right) et f^{\prime}\left(2\right).
   2. le signe de f^{\prime}\left(x\right) suivant les valeurs du nombre réel x de l’intervalle \left[- 2; 5\right].
   3. le signe de f\left(x\right) suivant les valeurs du nombre réel x de l’intervalle \left[- 2; 5\right].
2. On considère la fonction g définie par g\left(x\right)=\ln \left(f\left(x\right)\right) où \ln désigne la fonction logarithme népérien.
   1. Expliquer pourquoi la fonction g est définie sur l’intervalle \left[- 2; 4\right[.
   2. Calculer g\left(-2\right), g\left(0\right) et g\left(2\right).
   3. Préciser, en le justifiant, le sens de variations de la fonction g sur l’intervalle \left[- 2; 4\right[.