[Bac] Lecture graphique – Fonction logarithme
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(D'après Bac ES Métropole 2009)
Soit $ f $ une fonction définie et dérivable sur l'intervalle $ [-2\,;\,5] $, décroissante sur chacun des intervalles $ [-2\,;\,0] $ et $ [2\,;\,5] $, et croissante sur l'intervalle $ [0\,;\,2] $.
On note $ f^{\prime} $ sa fonction dérivée sur l'intervalle $ [-2\,;\,5] $.
La courbe $ (\Gamma) $ représentative de la fonction $ f $ est tracée ci-dessous dans le plan muni d'un repère orthogonal. Elle passe par les points $ A(-2\,;\,9) $, $ B(0\,;\,4) $, $ C(1\,;\,4{,}5) $, $ D(2\,;\,5) $ et $ E(4\,;\,0) $.
En chacun des points $ B $ et $ D $, la tangente à la courbe $ (\Gamma) $ est parallèle à l'axe des abscisses.
On note $ F $ le point de coordonnées $ (3\,;\,6) $.
La droite $ (CF) $ est la tangente à la courbe $ (\Gamma) $ au point $ C $.
À l'aide des informations précédentes et du graphique ci-dessus, préciser sans justifier :
- les valeurs de $ f(0) $, $ f^{\prime}(1) $ et $ f^{\prime}(2) $.
- le signe de $ f^{\prime}(x) $ suivant les valeurs du nombre réel $ x $ de l'intervalle $ [-2\,;\,5] $.
- le signe de $ f(x) $ suivant les valeurs du nombre réel $ x $ de l'intervalle $ [-2\,;\,5] $.
On considère la fonction $ g $ définie par $ g(x)=\ln(f(x)) $ où $ \ln $ désigne la fonction logarithme népérien.
- Expliquer pourquoi la fonction $ g $ est définie sur l'intervalle $ [-2\,;\,4[ $.
- Calculer $ g(-2) $, $ g(0) $ et $ g(2) $.
- Préciser, en le justifiant, le sens de variations de la fonction $ g $ sur l'intervalle $ [-2\,;\,4[ $.
Corrigé
- Par lecture graphique :
$ f(0) = 4 $.
$ f^{\prime}(1) $ est le coefficient directeur de la tangente $ (CF) $ : $ f^{\prime}(1) = \dfrac{6 - 4{,}5}{3 - 1} = \dfrac{1{,}5}{2} = \dfrac{3}{4} $.
La tangente en $ D $ est horizontale donc $ f^{\prime}(2) = 0 $. - $ f $ est croissante sur $ [0\,;\,2] $ donc $ f^{\prime}(x) \geqslant 0 $ sur cet intervalle.
$ f $ est décroissante sur $ [-2\,;\,0] $ et sur $ [2\,;\,5] $ donc $ f^{\prime}(x) \leqslant 0 $ sur ces intervalles.
$ f^{\prime}(0) = 0 $ et $ f^{\prime}(2) = 0 $ (tangentes horizontales). - D'après le graphique, $ f $ est positive sur $ [-2\,;\,4[ $, s'annule en $ x = 4 $ et est négative sur $ ]4\,;\,5] $.
- Par lecture graphique :
- $ g(x) = \ln(f(x)) $ est définie si et seulement si $ f(x) > 0 $, donc si et seulement si $ x \in [-2\,;\,4[ $.
- $ g(-2) = \ln(f(-2)) = \ln(9) = 2\ln(3) $.
$ g(0) = \ln(f(0)) = \ln(4) = 2\ln(2) $.
$ g(2) = \ln(f(2)) = \ln(5) $. - Sur $ [-2\,;\,4[ $, $ g $ est dérivable et $ g^{\prime}(x) = \dfrac{f^{\prime}(x)}{f(x)} $.
La fonction $ f $ étant strictement positive sur $ [-2\,;\,4[ $, $ g^{\prime}(x) $ est du signe de $ f^{\prime}(x) $.
$ g $ est donc strictement croissante sur $ [0\,;\,2] $ et strictement décroissante sur $ [-2\,;\,0] $ et sur $ [2\,;\,4[ $.