Exercice 1

4 points - Commun à tous les candidats

Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur l'intervalle [- 4 ; 6]. On note $f^{\prime}$ sa fonction dérivée. La courbe $\Gamma$ représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormal est tracée ci-dessous ainsi que la droite $\Delta$ d'équation $y=x$. La courbe $\Gamma$ et la droite $\Delta$ se coupent au point E d'abscisse 2.

On sait par ailleurs que :

- la courbe $\Gamma$ admet des tangentes parallèles à l'axe des abscisses aux points B (-2 ; 6,5) et C(1 ; 1,75),

- la droite (EF) est la tangente à la courbe $\Gamma$ au point E ; F est le point de coordonnées (4 ; 3)

1. Dans cette question, déterminer par lecture graphique et sans justification :

   1. les valeurs de $f^{\prime}\left( - 2\right)$ et $f^{\prime}\left(2\right)$ ;

   2. les valeurs de x dans l'intervalle [- 4 ; 6] vérifiant $f^{\prime}\left(x\right)\geqslant 0$ ;

   3. les valeurs de x dans l'intervalle [- 4 ; 6] vérifiant $f\left(x\right) \leqslant x$.

2. Soit $g$ la fonction définie sur ]- 4 ; 6] par $g\left(x\right)=\ln\left[f\left(x\right)\right]$. Déterminer par lecture graphique et avec justification :

   1. les variations de $g$ ;

   2. la limite de la fonction g quand x tend vers-4.

3. Encadrement d'une intégrale

   Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative non fructueuse sera prise en compte dans l'évaluation.

   1. Soit l'intégrale $I=\int_{2}^{4} f\left(x\right)dx$. Interpréter graphiquement $I$.

   2. Proposer un encadrement de l'intégrale $I$ par deux nombres entiers consécutifs. Justifier.