Exercice 3

7 points - Commun à tous les candidats

Partie A : Etude d'une fonction

On considère la fonction $f$ définie sur $\left[0 ;+\infty \right[$ par : $f\left(x\right)=\left(x+8\right) e^{ - 0,5x}$.

On note f' sa fonction dérivée et on admet que, pour tout x de $\left[0 ;+\infty \right[$, on a :

$f^{\prime}\left(x\right)=\left( - 0,5x - 3\right)e^{ - 0,5x}$.

1. Étudier le sens de variation de la fonction $f$ sur $\left[0 ; +\infty \right[$.

2. Démontrer que la fonction $F$ définie sur $\left[0 ;+\infty \right[$ par $F\left(x\right)=\left( - 2x - 20\right) e^{ - 0,5x}$ est une primitive de $f$ sur ce même intervalle.

3. Calculer l'intégrale $I=\int_{2}^{4}f\left(x\right)dx$ ; on donnera la valeur arrondie à 0,01 près.

Partie B : Applications économiques

La fonction de demande d'un produit informatique est modélisée par la fonction $f$ étudiée dans la partie a. Le nombre $f\left(x\right)$ représente la quantité demandée, exprimée en milliers d'objets, lorsque le prix unitaire est égal à x centaines d'euros.

1. Calculer le nombre d'objets demandés, à l'unité près, lorsque le prix unitaire est fixé à 200 euros.

2. En utilisant les résultats de la partie A, déterminer la demande moyenne à 10 objets près, lorsque le prix unitaire est compris entre 200 et 400 euros.

3. L'élasticité $E(x)$ de la demande par rapport au prix x est le pourcentage de variation de la demande pour une augmentation de 1% de x. On admet qu'une bonne approximation de $E(x)$ est $f\left(x\right)$ donnée par :

   $E(x)$ = $\frac{f^{\prime}\left(x\right)}{f\left(x\right)}\times x$

   1. Démontrer que $E(x)$ = $\frac{ - 0,5x^{2} - 3x}{x+8}$

   2. Déterminer le signe de $E(x)$ sur $\left[0 ; +\infty \right[$ et interpréter ce résultat.

   3. Calculer le prix pour lequel l'élasticité est égale à-3,5. Comment évolue la demande lorsque le prix passe de 800 à 808 euros ?