Exercice 1
7 points - Commun à tous candidats
Soit f la fonction définie sur l'intervalle \left[0, + \infty \right[ par: f\left(x\right) = xe^{-x^{2}}
On désigne par C la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormal \left(O; \vec{i}, \vec{j}\right) du plan. Cette courbe est représentée ci-dessous.
Partie A
-
- Déterminer la limite de la fonction f en +\infty .
(On pourra écrire, pour x différent de 0 : f\left(x\right) = \frac{1}{x}\times \frac{x^{2}}{e^{x^{2}}}). - Démontrer que f admet un maximum en \frac{\sqrt{2}}{2} et calculer ce maximum.
- Déterminer la limite de la fonction f en +\infty .
- Soit a un nombre réel positif ou nul. Exprimer en unités d'aire et en fonction de a, l'aire F\left(a\right) de la partie du plan limitée par la courbe C, l'axe des abscisses et les droites d'équations respectives x=0 et x = a . Quelle est la limite de F\left(a\right) quand a tend vers +\infty ?
Partie B
On considère la suite \left(u_{n}\right) définie pour tout entier naturel n par: u_{n} = \int_{n}^{n+1}f\left(x\right)dx. On ne cherchera pas à expliciter u_{n}.
-
- Démontrer que, pour tout entier naturel n différent de 0 et de 1,
f\left(n+1\right) \leqslant u_{n} \leqslant f\left(n\right) - Quel est le sens de variation de la suite \left(u_{n}\right)_{n\geqslant 2}?
- Montrer que la suite \left(u_{n}\right) converge. Quelle est sa limite?
- Démontrer que, pour tout entier naturel n différent de 0 et de 1,
-
- Vérifier que, pour tout entier naturel strictement positif n, F\left(n\right) = \sum_{k=0}^{n-1}u_{k}.
- Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
On donne ci-dessous les valeurs de F\left(n\right) obtenues à l'aide d'un tableur, pour n entier compris entre 3 et 7.
n 3 4 5 6 7 F\left(n\right) 0,4999382951 0,4999999437 0,5 0,5 0,5 Interpréter ces résultats.
Corrigé
Partie A
-
- Pour x différent de 0 : f\left(x\right) = \frac{1}{x}\times \frac{x^{2}}{e^{x^{2}}}.
En posant X=x^{2} on a :
\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\frac{x^{2}}{e^{x^{2}}}=\lim\limits_{X\rightarrow +\infty }\frac{X}{e^{X}}=\lim\limits_{X\rightarrow +\infty }\frac{1}{\frac{e^{X}}{X}}=0
Par ailleurs :
\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\frac{1}{x}=0
donc, par produit des limites:
\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }f\left(x\right)=0 - La dérivée de la fonction x\mapsto e^{-x^{2}} est la fonction x\mapsto -2xe^{-x^{2}} (dérivée de fonction composée \left(e^{u}\right)^{\prime}=u^{\prime}e^{u})
On dérive f grâce à la formule de dérivation d'un produit \left(uv\right)^{\prime}=u^{\prime}v+uv^{\prime}
f^{\prime}\left(x\right)=e^{-x^{2}}-2x^{2}e^{-x^{2}}=\left(1-2x^{2}\right)e^{-x^{2}}=\left(1-\sqrt{2}x\right)\left(1+\sqrt{2}x\right)e^{-x^{2}}
Le facteur 1+\sqrt{2}x est positif pour x > 0.Le facteur e^{-x^{2}} est toujours positif donc f^{\prime}\left(x\right) est du signe de 1-\sqrt{2}x qui s'annule pour x=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2} et dont le coefficient directeur est négatif.
Le tableau de variation de f est :
f admet donc un maximum pour x=\frac{\sqrt{2}}{2}.
- Pour x différent de 0 : f\left(x\right) = \frac{1}{x}\times \frac{x^{2}}{e^{x^{2}}}.
- L'aire F\left(a\right) de la partie du plan limitée par la courbe C, l'axe des abscisses et les droites d'équations respectives x=0 et x = a est donnée par :
F\left(a\right)=\int_{0}^{a}f\left(x\right)dx
Or f\left(x\right)=-\frac{1}{2}\left(-2xe^{-x^{2}}\right) et la fonction x\mapsto -2xe^{-x^{2}} est la dérivée de la fonction x\mapsto e^{-x^{2}}.
Une primitive de f est donc x\mapsto -\frac{1}{2}e^{-x^{2}}.
Donc:
F\left(a\right)=\int_{0}^{a}f\left(x\right)dx=\left[-\frac{1}{2}e^{-x^{2}}\right]_{0}^{a}=-\frac{1}{2}e^{-a^{2}}+\frac{1}{2}
(Remarque: F est la primitive de f qui s'annule pour x=0)
On a immédiatement :
\lim\limits_{a\rightarrow +\infty }F\left(a\right)=\frac{1}{2}
Partie B
-
- D'après la partie A, f est décroissante pour x > 1 donc si 1 < n \leqslant x \leqslant n+1:
f\left(n+1\right) \leqslant f\left(x\right) \leqslant f\left(n\right)
D'après les propriétés de l'intégrale, on a donc :
\int_{n}^{n+1}f\left(n+1\right)dx \leqslant \int_{n}^{n+1}f\left(x\right)dx \leqslant \int_{n}^{n+1}f\left(n\right)dx
soit, comme f\left(n\right) et f\left(n+1\right) sont des constantes :
f\left(n+1\right)\int_{n}^{n+1}1dx \leqslant \int_{n}^{n+1}f\left(x\right)dx \leqslant f\left(n\right)\int_{n}^{n+1}1dx
Or :
\int_{n}^{n+1}1dx=\left[x\right]_{n}^{n+1}=n+1-n=1
donc :
f\left(n+1\right) \leqslant \int_{n}^{n+1}f\left(x\right)dx \leqslant f\left(n\right)
c'est à dire :
f\left(n+1\right) \leqslant u_{n} \leqslant f\left(n\right) - Pour n\geqslant 2, d'après la question précédente : f\left(n+1\right) \leqslant u_{n} et u_{n+1}\leqslant f\left(n+1\right) donc u_{n+1}\leqslant u_{n}.
La suite \left(u_{n}\right)_{n\geqslant 2} est décroissante. - La fonction f étant positive sur \left[0; +\infty \right[, u_{n}=\int_{n}^{n+1}f\left(x\right)dx \geqslant 0 pour tout entier n.
La suite \left(u_{n}\right) est décroissante à partir du rang 2 et minorée par 0. Elle est donc convergente.
D'après le théorème des gendarmes :
\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }f\left(n+1\right) \leqslant \lim\limits_{n\rightarrow +\infty }u_{n} \leqslant \lim\limits_{n\rightarrow +\infty }f\left(n\right)
donc, d'après la partie A :
0 \leqslant \lim\limits_{n\rightarrow +\infty }u_{n} \leqslant 0
c'est à dire :
\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }u_{n} = 0
- D'après la partie A, f est décroissante pour x > 1 donc si 1 < n \leqslant x \leqslant n+1:
-
- Montrons par récurrence que pour tout entier naturel n strictement positif, F\left(n\right) = \sum_{k=0}^{n-1}u_{k}.
Initialisation
Cette propriété est vraie pour n = 1; en effet :
F\left(1\right) = \int_{0}^{1}f\left(x\right)dx=u_{0} et \sum_{k=0}^{0}u_{k}=u_{0}
Hérédité
Supposons F\left(n\right) = \sum_{k=0}^{n-1}u_{k} pour un certain entier n fixé.
F\left(n+1\right) = \int_{0}^{n+1}f\left(x\right)dx = \int_{0}^{n}f\left(x\right)dx + \int_{n}^{n+1}f\left(x\right)dx
d'après la relation de Chasles pour les intégrales.
Donc :
F\left(n+1\right) = F\left(n\right) + u_{n} = \sum_{k=0}^{n-1}u_{k} + u_{n} = \sum_{k=0}^{n}u_{k}
ce qui prouve bien l'hérédité.
Donc, pour tout entier naturel n strictement positif, F\left(n\right) = \sum_{k=0}^{n-1}u_{k}. - Le tableau confirme que \lim\limits_{n\rightarrow +\infty }F\left(n\right)=\frac{1}{2}
En réalité on n'a pas exactement F\left(5\right)=\frac{1}{2}. Ce résultat est dû à l'arrondi effectué par le tableur.
En effet, d'après la partie A. F\left(5\right)=-\frac{1}{2}e^{-5^{2}}+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}e^{-25}
Or e^{-25} < 1,4\times 10^{-11} n'est pas pris en compte par le tableur qui ne conserve apparemment que 10 décimales.
- Montrons par récurrence que pour tout entier naturel n strictement positif, F\left(n\right) = \sum_{k=0}^{n-1}u_{k}.