Partie A

1. 1. Pour $x$ différent de 0 : $f\left(x\right) = \frac{1}{x}\times \frac{x^{2}}{e^{x^{2}}}$.

      En posant $X=x^{2}$ on a :

      $\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\frac{x^{2}}{e^{x^{2}}}=\lim\limits_{X\rightarrow +\infty }\frac{X}{e^{X}}=\lim\limits_{X\rightarrow +\infty }\frac{1}{\frac{e^{X}}{X}}=0$

      Par ailleurs :

      $\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\frac{1}{x}=0$

      donc, par produit des limites:

      $\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }f\left(x\right)=0$

   2. La dérivée de la fonction $x\mapsto e^{ - x^{2}}$ est la fonction $x\mapsto - 2xe^{ - x^{2}}$ (dérivée de fonction composée $\left(e^{u}\right)^{\prime}=u^{\prime}e^{u}$)

      On dérive $f$ grâce à la formule de dérivation d'un produit $\left(uv\right)^{\prime}=u^{\prime}v+uv^{\prime}$

      $f^{\prime}\left(x\right)=e^{ - x^{2}} - 2x^{2}e^{ - x^{2}}=\left(1 - 2x^{2}\right)e^{ - x^{2}}=\left(1 - \sqrt{2}x\right)\left(1+\sqrt{2}x\right)e^{ - x^{2}}$

      Le facteur $1+\sqrt{2}x$ est positif pour $x > 0$.Le facteur $e^{ - x^{2}}$ est toujours positif donc $f^{\prime}\left(x\right)$ est du signe de $1 - \sqrt{2}x$ qui s'annule pour $x=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ et dont le coefficient directeur est négatif.

      Le tableau de variation de $f$ est :

      

      $f$ admet donc un maximum pour $x=\frac{\sqrt{2}}{2}$.

2. L'aire $F\left(a\right)$ de la partie du plan limitée par la courbe $C$, l'axe des abscisses et les droites d'équations respectives $x=0$ et $x = a$ est donnée par :

   $F\left(a\right)=\int_{0}^{a}f\left(x\right)dx$

   Or $f\left(x\right)= - \frac{1}{2}\left( - 2xe^{ - x^{2}}\right)$ et la fonction $x\mapsto - 2xe^{ - x^{2}}$ est la dérivée de la fonction $x\mapsto e^{ - x^{2}}$.

   Une primitive de $f$ est donc $x\mapsto - \frac{1}{2}e^{ - x^{2}}$.

   Donc:

   $F\left(a\right)=\int_{0}^{a}f\left(x\right)dx=\left[ - \frac{1}{2}e^{ - x^{2}}\right]_{0}^{a}= - \frac{1}{2}e^{ - a^{2}}+\frac{1}{2}$

   (Remarque: $F$ est la primitive de $f$ qui s'annule pour $x=0$)

   On a immédiatement :

   $\lim\limits_{a\rightarrow +\infty }F\left(a\right)=\frac{1}{2}$

Partie B

1. 1. D'après la partie A, $f$ est décroissante pour $x > 1$ donc si $1 < n \leqslant x \leqslant n+1$:

      $f\left(n+1\right) \leqslant f\left(x\right) \leqslant f\left(n\right)$

      D'après les propriétés de l'intégrale, on a donc :

      $\int_{n}^{n+1}f\left(n+1\right)dx \leqslant \int_{n}^{n+1}f\left(x\right)dx \leqslant \int_{n}^{n+1}f\left(n\right)dx$

      soit, comme $f\left(n\right)$ et $f\left(n+1\right)$ sont des constantes :

      $f\left(n+1\right)\int_{n}^{n+1}1dx \leqslant \int_{n}^{n+1}f\left(x\right)dx \leqslant f\left(n\right)\int_{n}^{n+1}1dx$

      Or :

      $\int_{n}^{n+1}1dx=\left[x\right]_{n}^{n+1}=n+1 - n=1$

      donc :

      $f\left(n+1\right) \leqslant \int_{n}^{n+1}f\left(x\right)dx \leqslant f\left(n\right)$

      c'est à dire :

      $f\left(n+1\right) \leqslant u_{n} \leqslant f\left(n\right)$

   2. Pour $n\geqslant 2$, d'après la question précédente : $f\left(n+1\right) \leqslant u_{n}$ et $u_{n+1}\leqslant f\left(n+1\right)$ donc $u_{n+1}\leqslant u_{n}$.

      La suite $\left(u_{n}\right)_{n\geqslant 2}$ est décroissante.

   3. La fonction $f$ étant positive sur $\left[0; +\infty \right[$, $u_{n}=\int_{n}^{n+1}f\left(x\right)dx \geqslant 0$ pour tout entier $n$.

      La suite $\left(u_{n}\right)$ est décroissante à partir du rang 2 et minorée par 0. Elle est donc convergente.

      D'après le théorème des gendarmes :

      $\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }f\left(n+1\right) \leqslant \lim\limits_{n\rightarrow +\infty }u_{n} \leqslant \lim\limits_{n\rightarrow +\infty }f\left(n\right)$

      donc, d'après la partie A :

      $0 \leqslant \lim\limits_{n\rightarrow +\infty }u_{n} \leqslant 0$

      c'est à dire :

      $\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }u_{n} = 0$

2. 1. Montrons par récurrence que pour tout entier naturel $n$ strictement positif, $F\left(n\right) = \sum_{k=0}^{n - 1}u_{k}$. Initialisation Cette propriété est vraie pour $n = 1$; en effet :

      $F\left(1\right) = \int_{0}^{1}f\left(x\right)dx=u_{0}$ et $\sum_{k=0}^{0}u_{k}=u_{0}$ Hérédité Supposons $F\left(n\right) = \sum_{k=0}^{n - 1}u_{k}$ pour un certain entier $n$ fixé.

      $F\left(n+1\right) = \int_{0}^{n+1}f\left(x\right)dx = \int_{0}^{n}f\left(x\right)dx + \int_{n}^{n+1}f\left(x\right)dx$

      d'après la relation de Chasles pour les intégrales.

      Donc :

      $F\left(n+1\right) = F\left(n\right) + u_{n} = \sum_{k=0}^{n - 1}u_{k} + u_{n} = \sum_{k=0}^{n}u_{k}$

      ce qui prouve bien l'hérédité.

      Donc, pour tout entier naturel $n$ strictement positif, $F\left(n\right) = \sum_{k=0}^{n - 1}u_{k}$.

   2. Le tableau confirme que $\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }F\left(n\right)=\frac{1}{2}$

      En réalité on n'a pas exactement $F\left(5\right)=\frac{1}{2}$. Ce résultat est dû à l'arrondi effectué par le tableur.

      En effet, d'après la partie A. $F\left(5\right)= - \frac{1}{2}e^{ - 5^{2}}+\frac{1}{2}=\frac{1}{2} - \frac{1}{2}e^{ - 25}$

      Or $e^{ - 25} < 1,4\times 10^{ - 11}$ n'est pas pris en compte par le tableur qui ne conserve apparemment que 10 décimales.