Intégrales et suites – Bac S Pondichéry 2009

Corrigé

Partie A

1. 1. Pour x différent de 0 : f\left(x\right) = \frac{1}{x}\times \frac{x^{2}}{e^{x^{2}}}.
      En posant X=x^{2} on a :
      \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\frac{x^{2}}{e^{x^{2}}}=\lim\limits_{X\rightarrow +\infty }\frac{X}{e^{X}}=\lim\limits_{X\rightarrow +\infty }\frac{1}{\frac{e^{X}}{X}}=0
      Par ailleurs :
      \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\frac{1}{x}=0
      donc, par produit des limites:
      \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }f\left(x\right)=0
   2. La dérivée de la fonction x\mapsto e^{-x^{2}} est la fonction x\mapsto -2xe^{-x^{2}} (dérivée de fonction composée \left(e^{u}\right)^{\prime}=u^{\prime}e^{u})
      On dérive f grâce à la formule de dérivation d’un produit \left(uv\right)^{\prime}=u^{\prime}v+uv^{\prime}
      f^{\prime}\left(x\right)=e^{-x^{2}}-2x^{2}e^{-x^{2}}=\left(1-2x^{2}\right)e^{-x^{2}}=\left(1-\sqrt{2}x\right)\left(1+\sqrt{2}x\right)e^{-x^{2}}
      Le facteur 1+\sqrt{2}x est positif pour x > 0.Le facteur e^{-x^{2}} est toujours positif donc f^{\prime}\left(x\right) est du signe de 1-\sqrt{2}x qui s’annule pour x=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2} et dont le coefficient directeur est négatif.
      Le tableau de variation de f est :
      
      f admet donc un maximum pour x=\frac{\sqrt{2}}{2}.
2. L’aire F\left(a\right) de la partie du plan limitée par la courbe C, l’axe des abscisses et les droites d’équations respectives x=0 et x = a est donnée par :
   F\left(a\right)=\int_{0}^{a}f\left(x\right)dx
   Or f\left(x\right)=-\frac{1}{2}\left(-2xe^{-x^{2}}\right) et la fonction x\mapsto -2xe^{-x^{2}} est la dérivée de la fonction x\mapsto e^{-x^{2}}.
   Une primitive de f est donc x\mapsto -\frac{1}{2}e^{-x^{2}}.
   Donc:
   F\left(a\right)=\int_{0}^{a}f\left(x\right)dx=\left[-\frac{1}{2}e^{-x^{2}}\right]_{0}^{a}=-\frac{1}{2}e^{-a^{2}}+\frac{1}{2}
   (Remarque: F est la primitive de f qui s’annule pour x=0)
   On a immédiatement :
   \lim\limits_{a\rightarrow +\infty }F\left(a\right)=\frac{1}{2}

Partie B

1. 1. D’après la partie A, f est décroissante pour x > 1 donc si 1 < n \leqslant x \leqslant n+1:
      f\left(n+1\right) \leqslant f\left(x\right) \leqslant f\left(n\right)
      D’après les propriétés de l’intégrale, on a donc :
      \int_{n}^{n+1}f\left(n+1\right)dx \leqslant \int_{n}^{n+1}f\left(x\right)dx \leqslant \int_{n}^{n+1}f\left(n\right)dx
      soit, comme f\left(n\right) et f\left(n+1\right) sont des constantes :
      f\left(n+1\right)\int_{n}^{n+1}1dx \leqslant \int_{n}^{n+1}f\left(x\right)dx \leqslant f\left(n\right)\int_{n}^{n+1}1dx
      Or :
      \int_{n}^{n+1}1dx=\left[x\right]_{n}^{n+1}=n+1-n=1
      donc :
      f\left(n+1\right) \leqslant \int_{n}^{n+1}f\left(x\right)dx \leqslant f\left(n\right)
      c’est à dire :
      f\left(n+1\right) \leqslant u_{n} \leqslant f\left(n\right)
   2. Pour n\geqslant 2, d’après la question précédente : f\left(n+1\right) \leqslant u_{n} et u_{n+1}\leqslant f\left(n+1\right) donc u_{n+1}\leqslant u_{n}.
      La suite \left(u_{n}\right)_{n\geqslant 2} est décroissante.
   3. La fonction f étant positive sur \left[0; +\infty \right[, u_{n}=\int_{n}^{n+1}f\left(x\right)dx \geqslant 0 pour tout entier n.
      La suite \left(u_{n}\right) est décroissante à partir du rang 2 et minorée par 0. Elle est donc convergente.
      D’après le théorème des gendarmes :
      \lim\limits_{n\rightarrow +\infty }f\left(n+1\right) \leqslant \lim\limits_{n\rightarrow +\infty }u_{n} \leqslant \lim\limits_{n\rightarrow +\infty }f\left(n\right)
      donc, d’après la partie A :
      0 \leqslant \lim\limits_{n\rightarrow +\infty }u_{n} \leqslant 0
      c’est à dire :
      \lim\limits_{n\rightarrow +\infty }u_{n} = 0
2. 1. Montrons par récurrence que pour tout entier naturel n strictement positif, F\left(n\right) = \sum_{k=0}^{n-1}u_{k}.
      Initialisation
      Cette propriété est vraie pour n = 1; en effet :
      F\left(1\right) = \int_{0}^{1}f\left(x\right)dx=u_{0} et \sum_{k=0}^{0}u_{k}=u_{0}
      Hérédité
      Supposons F\left(n\right) = \sum_{k=0}^{n-1}u_{k} pour un certain entier n fixé.
      F\left(n+1\right) = \int_{0}^{n+1}f\left(x\right)dx = \int_{0}^{n}f\left(x\right)dx + \int_{n}^{n+1}f\left(x\right)dx
      d’après la relation de Chasles pour les intégrales.
      Donc :
      F\left(n+1\right) = F\left(n\right) + u_{n} = \sum_{k=0}^{n-1}u_{k} + u_{n} = \sum_{k=0}^{n}u_{k}
      ce qui prouve bien l’hérédité.
      Donc, pour tout entier naturel n strictement positif, F\left(n\right) = \sum_{k=0}^{n-1}u_{k}.
   2. Le tableau confirme que \lim\limits_{n\rightarrow +\infty }F\left(n\right)=\frac{1}{2}
      En réalité on n’a pas exactement F\left(5\right)=\frac{1}{2}. Ce résultat est dû à l’arrondi effectué par le tableur.
      En effet, d’après la partie A. F\left(5\right)=-\frac{1}{2}e^{-5^{2}}+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}e^{-25}
      Or e^{-25} < 1,4\times 10^{-11} n’est pas pris en compte par le tableur qui ne conserve apparemment que 10 décimales.