Exercice 3

6 points - Commun à tous candidats

Partie A

On considère la fonction définie sur $[ 0~;~+\infty [$ par

1. 1. Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$.

   2. Démontrer que $f^{\prime}\left(x\right)=\left(x - 2\right)e^{x}$ et étudier le signe de $f^{\prime}\left(x\right)$ sur l'intervalle $[ 0~;~+\infty [$.

   3. Dresser le tableau de variations de $f$ sur l'intervalle $[ 0~;~+\infty [$.

   4. En déduire le signe de $f\left(x\right)$ sur l'intervalle $[ 0~;~+\infty [$.

2. 1. Démontrer que la fonction $G : x \mapsto \left(x - 4 \right)e^{x}$ est une primitive sur $[ 0~;~+\infty [$ de la fonction $g : x \mapsto \left(x - 3 \right)e^{x}$.

   2. En déduire une primitive $F$ de la fonction $f$ sur l'intervalle $[ 0~;~+\infty [$.

   3. Étudier le sens de variation de $F$ sur l'intervalle \left[0  ; +\infty \right[.

Partie B

Une entreprise fabrique $x$ tonnes d'un certain produit, avec x\in \left[0  ; 4\right]. Le coût marginal de fabrication pour une production de $x$ tonnes est donné par $f\left(x\right)$ exprimé en milliers d'euros, où $f$ est la fonction définie dans la partie A,.

1. Les coûts fixes de l'entreprise s'élèvent à 20 000 euros. On assimile le coût total $C$ à une primitive du coût marginal.

   En utilisant les résultats de la question A 2., déterminer le coût total de fabrication $C\left(x\right)$, exprimé en milliers d'euros.

2. L'entreprise désire adapter sa production pour atteindre un coût marginal de 11 292 euros.

   1. En utilisant la partie A démontrer qu'il est possible d'atteindre un coût marginal de 11 292 euros.

      Dans cette question, toute trace de recherche. même incomplète, d'initiative non fructueuse sera prise en compte dans l'évaluation.

   2. Déterminer la production correspondante, à 10 kg près.

   3. Quel est alors le coût moyen de fabrication ?

      On rappelle que le quotient $\frac{C\left(x\right)}{x}$ est appelé coût moyen de fabrication pour une production de $x$ tonnes de produit.