Exercice 4

5 points - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Une entreprise de services à la personne propose dans ses services l'entretien des jardins. Pour ce service, cette entreprise a recours à des employés à temps partiel pour une durée globale de $x$ heures, et elle loue le matériel nécessaire pour une durée globale de $y$ heures.

La surface de jardin traitée en une semaine, exprimée en centaines de m², est donnée par la fonction $f\left(x ; y\right)=\sqrt{2xy}$ où $x$ et $y$ sont exprimés en heures.

Une heure de travail coûte 15 euros et une heure de location du matériel coûté 30 euros.

Les contraintes matérielles imposent que $0 \leqslant x \leqslant 120$ et $0 \leqslant y \leqslant 100$.

La figure 1 donnée en annexe représente la surface $S$ d'équation $z=f\left(x ; y\right)$.

La figure 2 donnée en annexe représente la projection orthogonale de la surface $S$ sur le plan $\left(xOy\right)$, les courbes de niveau de cette surface étant représentées pour z variant de 10 en 10.

1. 1. Les points $A \left(20 ; 40 ; z_{A}\right)$ et $B \left(60 ; y_{B} ; 60 \right)$ sont des points de la surface $S$. Déterminer pour chacun la coordonnée manquante.

   2. Lire sur la figure 1 les coordonnées du point $C$ et en donner une interprétation concrète.

   3. Placer sur la figure 1 le point $D$ de coordonnées $\left(10 ; 80 ; 40\right)$.

   4. Donner la nature de la courbe de niveau $z=50$.

2. Les contraintes financières imposent de fixer le coût hebdomadaire correspondant à 2 400 euros.

   1. Démontrer que x et y sont liés par la relation $y= - \frac{1}{2}x+80$.

   2. Quelle est la nature de l'ensemble $\left(E\right)$ des points $M\left(x ; y ; z\right)$ de l'espace dont les coordonnées vérifient $y= - \frac{1}{2}x+80$?

   3. Représenter l'ensemble $\left(E\right)$ sur la figure 2 de l'annexe.

   4. En déduire graphiquement la surface de jardin maximum qu'on peut traiter avec un coût hebdomadaire de 2 400 euros.

3. 1. Vérifier que, sous la contrainte $y= - \frac{1}{2}x+80$, $z$ peut s'écrire sous la forme $z=g\left(x\right)$, $g$ étant la fonction définie sur [0 ; 120] par $g\left(x\right)=\sqrt{160x - x^{2}}$ .

   2. Démontrer que sur ]0 ; 120] $g^{\prime}\left(x\right)=\frac{80 - x}{\sqrt{160x - x^{2}}}$, $g^{\prime}$ désignant la fonction dérivée de $g$, puis démontrer que la fonction g admet un maximum sur l'intervalle [0 ; 120].

   3. En déduire le temps de travail et la durée de location hebdomadaires qui permettent de traiter une surface maximum.