Exercice corrigéExercice 1 (5 points)
Commun à tous les candidats
Partie 1
On s'intéresse à l'évolution de la hauteur d'un plant de maïs en fonction du temps. Le graphique ci-dessous représente cette évolution. La hauteur est en mètres et le temps en jours.
On décide de modéliser cette croissance par une fonction logistique du type :
h\left(t\right)= \frac{a}{1+be^{-0,04t}}
où a et b sont des constantes réelles positives, t est la variable temps exprimée en jours et h\left(t\right) désigne la hauteur du plant, exprimée en mètres.
On sait qu'initialement, pour t=0, le plant mesure 0,1 m et que sa hauteur tend vers une hauteur limite de 2 m.
Déterminer les constantes a et b afin que la fonction h corresponde à la croissance du plant de maïs étudié.
Partie 2
On considère désormais que la croissance du plant de maïs est donnée par la fonction f définie sur \left[0 ; 250\right] par
f\left(t\right)=\frac{2}{1+19e^{-0,04t}}
- Déterminer f^{\prime}\left(t\right) en fonction de t (f^{\prime} désignant la fonction dérivée de la fonction f).
En déduire les variations de la fonction f sur l'intervalle \left[0 ; 250\right]. - Calculer le temps nécessaire pour que le plant de maïs atteigne une hauteur supérieure à 1,5 m.
- Vérifier que pour tout réel t appartenant à l'intervalle \left[0 ; 250\right] on a f\left(t\right)=\frac{2e^{0,04t}}{e^{0,04t}+19}.
Montrer que la fonction F définie sur l'intervalle \left[0 ; 250\right] par
F\left(t\right)=50\ln \left(e^{0,04t}+19\right) est une primitive de la fonction f. - Déterminer la valeur moyenne de f sur l'intervalle \left[50 ; 100\right].
En donner une valeur approchée à 10^{-2} près et interpréter ce résultat.
- Vérifier que pour tout réel t appartenant à l'intervalle \left[0 ; 250\right] on a f\left(t\right)=\frac{2e^{0,04t}}{e^{0,04t}+19}.
- On s'intéresse à la vitesse de croissance du plant de maïs ; elle est donnée par la fonction dérivée de la fonction f.
La vitesse de croissance est maximale pour une valeur de t.
En utilisant le graphique, déterminer une valeur approchée de celle-ci. Estimer alors la hauteur du plant.
Corrigé
Partie 1
D'après l'énoncé, la hauteur tend vers une hauteur limite de 2 m donc :
\lim\limits_{t\rightarrow +\infty }h\left(t\right)=2
Or \lim\limits_{t\rightarrow +\infty }\frac{a}{1+be^{-0.04t}}=a (puisque \lim\limits_{t\rightarrow +\infty }e^{-0.04t}=0)
Donc a=2.
Par ailleurs, pour t=0, le plant mesure 0,1 m donc h\left(0\right)=0,1, c'est à dire:
\frac{a}{1+b}=0,1
0,1b=a-0,1
0,1b=1,9
b=19
On a donc :
f\left(t\right)=\frac{2}{1+19e^{-0,04t}}
Partie 2
- La dérivée de \frac{1}{u} est -\frac{u^{\prime}}{u^{2}} donc :
f^{\prime}\left(t\right)=-\frac{2\times 19\times \left(-0,04e^{-0,04t}\right)}{\left(1+19e^{-0,04t}\right)^{2}}=\frac{1,52e^{-0,04t}}{\left(1+19e^{-0,04t}\right)^{2}}
Le numérateur et le dénominateur sont strictement positifs sur \left[0 ; 250\right] donc f est strictement croissante sur \left[0 ; 250\right] - On cherche à résoudre l'inéquation f\left(t\right)\geqslant 1,5
f\left(t\right)\geqslant 1,5 \Leftrightarrow \frac{2}{1+19e^{-0,04t}} \geqslant 1,5
f\left(t\right)\geqslant 1,5 \Leftrightarrow 1,5\left(1+19e^{-0,04t}\right) \leqslant 2
f\left(t\right)\geqslant 1,5 \Leftrightarrow 28,5e^{-0,04t} \leqslant 0,5
f\left(t\right)\geqslant 1,5 \Leftrightarrow e^{-0,04t} \leqslant \frac{1}{57} (car \frac{0,5}{28,5}=\frac{0,5\times 2}{28,5\times 2}= \frac{1}{57})
f\left(t\right)\geqslant 1,5 \Leftrightarrow -0,04t \leqslant \ln\left(\frac{1}{57}\right) (car la fonction \ln est strictement croissante sur \left]0 ; +\infty \right[)
f\left(t\right)\geqslant 1,5 \Leftrightarrow t \geqslant \frac{\ln\left(57\right)}{0,04} (car \ln\left(\frac{1}{57}\right)=-\ln\left(57\right)
Comme \frac{\ln\left(57\right)}{0,04} \approx 101,08, le plant de maïs dépassera 1,5 m à compter du 102ème jour. - En multipliant le numérateur et le dénominateur de f\left(t\right) par e^{0,04t} on obtient:
f\left(t\right)=\frac{2\times e^{0,04t}}{\left(1+19e^{-0,04t}\right)\times e^{0,04t}}=\frac{2e^{0,04t}}{e^{0,04t}+19}.
En utilisant la formule \left(\ln\left(u\right)\right)^{\prime}=\frac{u^{\prime}}{u}, on obtient :
F^{\prime}\left(t\right)=50\times \frac{0,04e^{0,04t}}{e^{0,04t}+19}= \frac{2e^{0,04t}}{e^{0,04t}+19}=f\left(t\right)
donc la fonction F définie sur l'intervalle \left[0 ; 250\right] par F\left(t\right)=50\ln \left(e^{0,04t}+19\right) est une primitive de la fonction f. - La valeur moyenne de f sur l'intervalle \left[50 ; 100\right] est donnée par :
m=\frac{1}{50}\int_{50}^{100}f\left(t\right)dt=\frac{1}{50}\left[F\left(t\right)\right]_{50}^{100}=\frac{1}{50}\left(F\left(100\right)-F\left(50\right)\right)\approx 1,03 à 10^{-2} près.
La croissance moyenne du plant de maïs entre le 50ème et le 100ème jour est d'environ 1m.
- En multipliant le numérateur et le dénominateur de f\left(t\right) par e^{0,04t} on obtient:
- La vitesse de croissance est maximale lorsque la pente de la tangente à la courbe est maximale. Sur le graphique, on voit que ceci est obtenu pour t proche de 70 jours. La hauteur du plant est alors d'environ 1m.