Exercice 3 (6 points)

Commun à tous les candidats

Étant donné un nombre réel $k$, on considère la fonction $f_{k}$ définie sur $\mathbb{R}$ par

Le plan est muni d'un repère orthonormé $\left(O; \vec{i}, \vec{j}\right)$.

Partie A

Dans cette partie on choisit $k=1$. On a donc, pour tout réel $x$ : $f_{1}\left(x\right)=\frac{1}{1+e^{ - x}}$.

La représentation graphique $\mathscr C_{1}$ de la fonction $f_{1}$ dans le repère $\left(O; \vec{i}, \vec{j}\right)$ est donnée en Annexe, à rendre avec la copie.

1. Déterminer les limites de $f_{1}\left(x\right)$ en $+ \infty$ et en $- \infty$ et interpréter graphiquement les résultats obtenus.

2. Démontrer que, pour tout réel $x, f_{1}\left(x\right)=\frac{e^{x}}{1+ e^{x}}$.

3. On appelle $f^{\prime}_{1}$ la fonction dérivée de $f_{1}$ sur $\mathbb{R}$. Calculer, pour tout réel $x, f^{\prime}_{1}\left(x\right)$.

   En déduire les variations de la fonction $f_{1}$ sur $\mathbb{R}$.

4. On définit le nombre $I=\int_{0}^{1} f_{1}\left(x\right)dx$.

   Montrer que $I=\ln \left(\frac{1+e}{2}\right)$.

   Donner une interprétation graphique de $I$.

Partie B

Dans cette partie, on choisit $k = - 1$ et on souhaite tracer la courbe $\mathscr C_{ - 1}$ représentant la fonction $f_{ - 1}$.

Pour tout réel $x$, on appelle $P$ le point de $\mathscr C_{1}$ d'abscisse $x$ et $M$ le point de $\mathscr C_{ - 1}$ d'abscisse $x$.

On note $K$ le milieu du segment $\left[MP\right]$.

1. Montrer que, pour tout réel $x : f_{1}\left(x\right)+f_{ - 1}\left(x\right)=1$.

2. En déduire que le point $K$ appartient à la droite d'équation $y=\frac{1}{2}$.

3. Tracer la courbe $\mathscr C_{ - 1}$ sur l'Annexe, à rendre avec la copie.

4. En déduire l'aire, en unités d'aire, du domaine délimité par les courbes $\mathscr C_{1}$, $\mathscr C_{ - 1}$ l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x=1$.

Partie C

Dans cette partie, on ne privilégie pas de valeur particulière du paramètre $k$.

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse.

1. Quelle que soit la valeur du nombre réel $k$, la représentation graphique de la fonction $f_{k}$ est strictement comprise entre les droites d'équations $y=0$ et $y=1$.

2. Quelle que soit la valeur du réel $k$, la fonction $f_{k}$ est strictement croissante.

3. Pour tout réel $k\geqslant 10 : f_{k}\left(\frac{1}{2}\right) \geqslant 0,99$.

Annexe