Exercice 4   6 points

Commun à tous les candidats

Le bénéfice en milliers d'euros que réalise une entreprise lorsqu'elle fabrique et vend $x$ centaines d'objets (pour $x$ compris entre 0 et 6) est donné par

Alix a affiché sur l'écran de sa calculatrice la courbe représentative de la fonction $f$ sur l'intervalle $\left[0 ; 6\right]$.

Partie A : objectif "réaliser un bénéfice maximal "

L'écran ne permet pas à Alix de déterminer le bénéfice maximal.

Il décide donc d'étudier la fonction $f$ sur l'intervalle $\left[0 ; 6\right]$. On admet que cette fonction est dérivable sur l'intervalle $\left[0 ; 6\right]$. On désigne par $f^{\prime}$ la fonction dérivée de la fonction $f$.

1. Établir que, pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle $\left[0 ; 6\right]$,

   $f^{\prime}\left(x\right) = \left(500 - 200x\right)\text{e}^{ - x - 1}$

2. Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $\left[0 ; 6\right]$.

3. En déduire le nombre d'objets à vendre pour réaliser un bénéfice maximal.
   Quel est ce bénéfice maximal en euros ? (Donner la réponse arrondie à l'euro).

4. Proposer un réglage de la fenêtre graphique permettant de visualiser le maximum de la fonction $f$.

Partie B : objectif "ne pas vendre à perte "

1. Au vu du graphique obtenu par Alix, à partir de combien d'objets l'entreprise ne vend-elle pas à perte ?

2. Démontrer que sur l'intervalle $\left[1 ; 2\right]$ l'équation $f\left(x\right)=0$ admet une unique solution notée $\alpha$.

3. Donner une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{ - 2}$ près.

4. Préciser le nombre d'objets à partir duquel l'entreprise ne vend pas à perte.