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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Coût marginal - Bac blanc ES/L Sujet 3 - Maths-cours 2018

Exercice 1 (5 points)

Une entreprise fabrique une boisson conditionnée en bouteille d'un litre.

Le coût total, exprimé en euros est donné par la fonction CtC_t :

Ct(x)=4x320x2+80x+100. C_t(x)=4x^3 - 20x^2+80x+100.

xx représente le volume exprimé en centaines de litres, xx variant dans l'intervalle [0 ; 5][0~;~5].

Le graphique ci-après affiche la représentation graphique C\mathscr{C} de la fonction CtC_t dans un repère orthogonal.

Le point AA est le point de la courbe C\mathscr{C} d'abscisse 5 et BB un point d'inflexion de cette courbe.

T1T_1 et T2T_2 sont les tangentes à C\mathscr{C} respectivement aux points AA et BB.

Graphique coût marginal

Partie A

  1. Les coûts fixes sont les coûts que supporte l'entreprise même lorsque la production est nulle.

    À l'aide du graphique ou de la formule définissant CtC_t, déterminer les coûts fixes puis le coût pour une production de 500 litres.

  2. Le coût marginal est égal au coût de fabrication d'une unité supplémentaire.

    On rappelle que l'on peut assimiler le coût marginal à la dérivée du coût total.

    Par lecture graphique, donner une estimation du coefficient directeur à la courbe C\mathscr{C} au point AA d'abscisse 5.

    En déduire une estimation du coût marginal pour une production de 500 litres.

  3. Donner, par lecture graphique, une estimation de l'intervalle sur lequel la fonction CtC_t est convexe et une estimation de l'intervalle sur lequel la fonction CtC_t est concave.

  4. À l'aide du graphique, estimer la valeur minimum du coût marginal.

Partie B

  1. Pour xx appartenant à l'intervalle [0 ; 5][0~;~5], exprimer le coût marginal Cm(x)C_m(x) en fonction de xx.

  2. Déterminer les coordonnées exactes du point BB.

    Retrouver, par le calcul, la valeur minimum du coût marginal.

Corrigé

Partie A

  1. Les coûts fixes sont égaux à Ct(0)C_t(0) :

    Ct(0)=4×0320×02+80×0+100=100C_t(0)=4 \times 0^3 - 20 \times 0^2 + 80 \times 0 + 100 = 100

    Les coûts fixes sont de 100 euros.

    Pour une production de 500 litres, soit 5 centaines de litres, le coût total est égal à :

    Ct(5)=4×5320×52+80×5+100=500C_t(5)=4 \times 5^3 - 20 \times 5^2 + 80 \times 5 + 100 = 500

    Le coût total pour une production de 500 litres est égal à 500 euros.

  2. La tangente en AA à la courbe C\mathscr{C} est la droite T1T_1. Cette droite passe par le point A(5 ; 500)A(5~;~500) et passe par un point MM de coordonnées proches de (4 ; 320)(4~;~320).

    Le coefficient directeur aa de cette tangente est donc approximativement :

    a=yMyAxMxA=50032054=180a=\dfrac{y_M - y_A}{x_M - x_A}=\dfrac{500 - 320}{5 - 4}=180

    Le coût marginal Cm(5)C_m(5) pour une production de 500 litres est égal au nombre dérivé Ct(5)C^{\prime}_t(5). Or, ce nombre est le coefficient directeur de la tangente au point AA.

    À retenir

    Le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de ff au point d'abscisse α\alpha est égal à f(α)f^{\prime}(\alpha).

    Le coût marginal pour une production de 500 litres est donc approximativement égal à 180 euros.

  3. Notons xBx_B l'abscisse du point BB.

    Par lecture graphique, on voit que la fonction CtC_t est concave sur l'intervalle [0 ; xB][0~;~x_B] et convexe sur l'intervalle [xB ; 5][x_B~;~5].

    On constate également que les coordonnées du point d'inflexion BB sont approximativement (1,7 ; 195)(1,7~;~195).

    On peut donc estimer que la fonction CtC_t est concave sur l'intervalle \bm{[0~;~1,7]} et convexe sur l'intervalle \bm{[1,7~;~5]}.

    À retenir

    Une fonction est convexe si et seulement si sa courbe représentative est située au-dessus de ses tangentes (courbe en « \cup »).

    Une fonction est concave si et seulement si sa courbe représentative est située au-dessous de ses tangentes (courbe en « \cap »).

    Un point d'inflexion est un point où la fonction change de convexité. En ce point, la tangente « traverse » la courbe.

  4. La fonction CtC_t est convexe si et seulement si sa fonction dérivée CtC^{\prime}_t (identique à la fonction CmC_m) est croissante.

    À retenir

    Si ff est une fonction deux fois dérivable sur un intervalle II, les propositions suivantes sont équivalentes :

    • la fonction ff est connexe sur II;

    • la fonction dérivée ff^{\prime} est croissante sur II;

    • la fonction dérivée seconde ff^{\prime \prime} est positive sur II;

    \vspace{3mm}

    De même, les propositions suivantes sont équivalentes :

    • la fonction ff est concave sur II;

    • la fonction dérivée ff^{\prime} est décroissante sur II;

    • la fonction dérivée seconde ff^{\prime \prime} est négative sur II;

    D'après la question précédente on peut tracer le tableau ci-après :

    tableau de variations coût marginal

    Le coût marginal est minimal pour x=xB1,7x=x_B \approx 1,7.

    Ce minimum vaut Cm(xB)=Ct(xB)C_m(x_B)=C^{\prime}_t(x_B).

    Pour déterminer la valeur de Ct(xB)C^{\prime}_t(x_B), on procède comme à la question 2.

    Ct(xB)C^{\prime}_t(x_B) est le coefficient directeur de la tangente T2T_2 à la courbe C\mathscr{C} au point BB.

    Cette tangente passe approximativement par les points de coordonnées (0 ; 120)(0~;~120) et (1,7 ; 195)(1,7~;~195).

    On a donc :

    Ct(xB)1951201,7044C^{\prime}_t(x_B) \approx \dfrac{195 - 120}{1,7 - 0} \approx 44

    Le coût marginal minimal peut être estimé à 44 euros.

    Remarque : il ne s'agit que d'une estimation. Vous pouvez tout à fait trouver un résultat légèrement différent. La valeur exacte, calculée dans la partie B, est comprise entre 46 et 47 euros.

Partie B

  1. Pour xx appartenant à l'intervalle [0 ; 5][0~;~5] :

    Cm(x)=Ct(x)=4×3x220×2x+80=12x240x+80C_m(x)=C^{\prime}_t(x)=4 \times 3x^2 - 20 \times 2x + 80 = 12 x^2 - 40x+ 80

  2. Le point BB est le point d'inflexion de la courbe C\mathscr{C}. Son abscisse correspond à la valeur de xx pour laquelle Ct(x)C^{\prime \prime}_t(x) s'annule et change de signe. Or :

    Ct(x)=Cm(x)=12×2x40=24x40C^{\prime \prime}_t(x)=C^{\prime}_m(x)=12 \times 2x - 40=24x - 40

    CtC^{\prime \prime}_t est une fonction affine qui s'annule et change de signe pour x=4024=53{x=\dfrac{40}{24}=\dfrac{5}{3}}.

    Le point BB a donc pour abscisse 53\dfrac{5}{3}.

    L'ordonnée de BB est :

    Ct(53)=4×(53)320×(53)2+80×53+100=530027C_t\left(\dfrac{5}{3}\right)=4 \times \left(\dfrac{5}{3}\right)^3 - 20 \times \left(\dfrac{5}{3}\right)^2 + 80 \times \dfrac{5}{3} +100 = \dfrac{5300}{27}

    Les coordonnées de BB sont donc (53 ; 530027) \left(\dfrac{5}{3}~;~\dfrac{5300}{27}\right). \vspace{3mm}

    D'après le tableau de la question 4. de la partie A., le coût marginal minimal correspond à Cm(53)C_m\left(\dfrac{5}{3}\right) :

    Cm(53)=12×(53)240×53+80=1403C_m\left(\dfrac{5}{3}\right)=12 \times \left(\dfrac{5}{3}\right)^2 - 40 \times \dfrac{5}{3} +80 = \dfrac{140}{3}

    Le coût marginal minimum est donc 1403 \dfrac{140}{3}\ (46,7\approx 46,7 euros).