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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Calculs - Aires et coûts - Brevet Métropole 2014

Exercice 7 - 7 points

Un agriculteur produit des bottes de pailles parallélépipédiques.

  1. Justifier que le prix d'une botte de paille est 0,51 € (arrondi au centime).

  2. Marc veut refaire l'isolation de la toiture d'un bâtiment avec des bottes de pailles parallélépipédiques. Le bâtiment est un prisme droit dont les dimensions sont données sur le schéma ci-dessous.

    Il disposera les bottes de paille sur la surface correspondant à la zone grisée, pour créer une isolation de 35 cm d'épaisseur. Pour calculer le nombre de bottes de pailles qu'il doit commander, il considère que les bottes sont disposées les unes sur les autres. Il ne tient pas compte de l'épaisseur des planches entre lesquelles il insère les bottes.

    Brevet Métropole 2014 - 2

    1. Combien de bottes devra-t-il commander?

    2. Quel est le coût de la paille nécessaire pour isoler le toit

Corrigé

  1. Le volume d'une botte de paille est :

    V=l×L×h=90×45×35=141750cm3=0,14175m3V = l\times L\times h = 90\times 45\times 35 = 141 750 \text{cm}^{3} = 0,14175 \text{m}^{3}

    La masse d'une botte est :

    m=0,14175×90=12,7575kg=0,0127575m = 0,14175\times 90 = 12,7575 \text{kg} = 0,0127575 tonnes

    Enfin le prix d'une botte est :

    P=0,0127575×40≈0,51P = 0,0127575\times 40 \approx 0,51 € (arrondi au centime).

    1. Pour déterminer le nombre de bottes de paille nécessaires pour couvrir le toit, il est nécessaire de calculer les dimensions du rectangle FGKJFGKJ.

      IJ=JA−IA=JA−GC=7,7−5=2,7IJ=JA - IA=JA - GC=7,7 - 5=2,7m

      D'après le théorème de Pythagore :

      FJ2=IJ2+IF2=2,72+3,62=20,25FJ^{2} = IJ^{2}+IF^{2} = 2,7^{2}+3,6^{2} = 20,25

      donc FJ=20,25=4,5FJ = \sqrt{20,25} = 4,5m

      L'aire du rectangle FGKJFGKJ est donc :

      A=4,5×15,3=68,85m2\mathscr A = 4,5\times 15,3 = 68,85 \text{m}^{2}

      L'aire de la base d'une botte de paille est 90×45=4050cm2=0,405m290\times 45 = 4050 \text{cm}^{2} = 0,405 \text{m}^{2} donc Marc devra commander 68,8568,85 ÷ 0,405=1700,405 =170 bottes de paille pour recouvrir le toit.

    2. Le coût sera alors 170×0,51=86,70170\times 0,51 = 86,70 €.

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