Maths-cours

COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Ajustement exponentiel - Bac ES Polynésie française 2008

Exercice 3

4 points-Commun à tous les candidats

Le tableau ci-dessous représente l'évolution de l'indice des prix des logements anciens en Ile de France entre 2000 et 2006 (base 100 en 2000).

Année 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006
Rang xix_{i} de l'année 0 1 2 3 4 5 6
Indice yiy_{i} des prix 100 106,3 114,3 126,1 143,6 166,3 181,5
(Source : INSEE)

On cherche à étudier l'évolution de l'indice des prix yy en fonction du rang xx de l'année.

  1. Calculer le taux d'évolution de cet indice entre 2000 et 2006.

  2. Représenter le nuage de points Mi(xi;yi)M_{i}\left(x_{i} ; y_{i}\right) associé à cette série statistique dans le plan muni d'un repère orthogonal, d'unités graphiques :

    - sur l'axe des abscisses, 2 cm pour un an ;

    - sur l'axe des ordonnées, 1 cm pour 10 (en plaçant 100 à l'origine).

    L'allure de ce nuage suggère un ajustement exponentiel.

    On pose z=lnyz=\ln y.

  3. Recopier et compléter le tableau suivant (Les valeurs de ziz_{i} seront arrondies au millième) :

    Rang xix_{i} 0 1 2 3 4 5 6
    zi=lnyiz_{i}=\ln y_{i} 4,605

  4. Dans cette question, les calculs effectués à la calculatrice ne seront pas justifiés.

    1. Déterminer une équation de la droite d'ajustement de zz en xx obtenue par la méthode des moindres carrés (les coefficients seront arrondis au millième).

    2. En déduire une approximation de l'indice des prix yy en fonction du rang xx de l'année.

  5. On prend l'approximation y96e0,104xy \approx 96 e^{0,104x} et on suppose qu'elle reste valable pour les années suivantes.

    1. Déterminer le plus petit entier n tel que 96e0,104n25096 e^{0,104n} \geqslant 250.

    2. Donner une interprétation du résultat obtenu.