Pourcentages
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1. Part en pourcentage
Définition
Soit $ E $ un ensemble fini (que l’on appellera ensemble de référence) et $ F $ une partie de l’ensemble $ E $. La part en pourcentage de $ F $ par rapport à $ E $ est le nombre : $ t \% =\dfrac{t}{100}= \dfrac{card \left(F\right)}{card \left(E\right)} $
où $ card \left(E\right) $ (cardinal de $ E $) désigne le nombre d’éléments de $ E $ et $ card \left(F\right) $ le nombre d’éléments de $ F $.
Remarque
- $ 5\% $, $ \dfrac{5}{100} $ et $ 0{,}05 $ sont trois écritures différentes du même nombre (pourcentage, fraction, écriture décimale).
On est en présence d’une situation de proportionnalité que l’on peut représenter par le tableau suivant :
$ t $ nombre d’éléments de $ F $ $ 100 $ nombre d’éléments de $ E $ - Ceci peut également s’écrire : nombre d’éléments de $ F =\dfrac{t}{100} \times $ nombre d’éléments de $ E $.
Cette dernière égalité permet de calculer le nombre d’éléments de $ F $ connaissant sa part en pourcentage par rapport à $ E $
Exemple
- Dans une classe de $ 25 $ élèves qui compte $ 15 $ garçons le pourcentage de garçons est :
$ \dfrac{15}{25}=0{,}6=\dfrac{60}{100}=60\% $ - $ 16\% $ de $ 75 $€ font : $ \dfrac{16}{100}\times 75=12 $€
Propriété
Pourcentages de pourcentages Soit 3 ensembles $ E, F, G $ tels que $ G \subset F \subset E $.
Si $ G $ représente $ t_{1} $% de $ F $ et si $ F $ représente $ t_{2} $% de $ E $, la part en pourcentage de $ G $ par rapport à $ E $ est :
$ \dfrac{t}{100}=\dfrac{t_{1}}{100}\times \dfrac{t_{2}}{100} $
Exemple
Dans un lycée de $ 800 $ élèves :
- $ 25 $ % des élèves sont en Seconde ;
- $ 45 $ % des élèves de Seconde sont des filles.
La part des filles de Seconde dans le lycée est :
$ \dfrac{t}{100}=\dfrac{25}{100}\times \dfrac{45}{100}=\dfrac{1125}{10000}=\dfrac{11{,}25}{100}=11{,}25\% $
Le nombre de filles en Seconde est $ \dfrac{11{,}25}{100}\times 800=90 $
2. Pourcentages d’évolution
On considère une quantité qui passe d’une valeur $ V_{0} $ à une valeur $ V_{1} $. Pour mesurer ce changement, on dispose de deux outils : la variation absolue (exprimée dans l’unité de la grandeur) et le taux d’évolution (exprimé en pourcentage).
Définition
La variation absolue d’une quantité passant de $ V_{0} $ à $ V_{1} $ est la différence :
Elle s’exprime dans la même unité que la grandeur étudiée.
Remarque
La variation absolue est positive en cas d’augmentation et négative en cas de diminution. Seule, elle ne permet pas de comparer des évolutions portant sur des grandeurs d’ordres de grandeur différents : une augmentation de 100€ sur un prix de 200€ n’a pas la même signification qu’une augmentation de 100€ sur un prix de 10 000€.
Définition
Le taux d’évolution (ou variation relative) d’une quantité passant de $ V_{0} $ à $ V_{1} $ est le nombre :
Remarque
Le taux d’évolution est positif dans le cas d’une augmentation et négatif dans le cas d’une diminution.
Exemple
Le prix d’un article passe de 80€ à 76€.
La variation absolue est : $ \Delta V = 76 - 80 = -4 $€. Le prix a diminué de 4€.
Le taux d’évolution est : $ \dfrac{t}{100}=\dfrac{76 - 80}{80}= - \dfrac{4}{80}= - 0{,}05= - 5\% $
Le prix de l’article a diminué de 5%.
Définition
On considère une quantité passant d’une valeur $ V_{0} $ à une valeur $ V_{1} $.
Le coefficient multiplicateur est le nombre par lequel il faut multiplier $ V_{0} $ pour obtenir $ V_{1} $ :
$ V_{1}=CM \times V_{0} $
Remarque
- On a donc $ CM=\dfrac{V_{1}}{V_{0}} $
- Le coefficient multiplicateur est supérieur à 1 dans le cas d’une augmentation et inférieur à 1 dans le cas d’une diminution.
- La fonction qui à l’ancienne valeur associe la nouvelle valeur est : $ x\mapsto CM\times x $
C’est une fonction linéaire de coefficient directeur $ CM $
Propriété
Le coefficient multiplicateur s’exprime en fonction du pourcentage d’évolution par :
$ CM=1+\dfrac{t}{100} $
(où $ t $ est positif en cas d’augmentation, négatif en cas de diminution)
Remarque
- On a donc : $ V_{1}=\left(1+\dfrac{t}{100}\right)V_{0} $.
- Dans le cas d’une diminution de $ 5 $%, par exemple, on pourra au choix considérer que :
$ CM=1+\dfrac{t}{100} $ avec $ t= - 5 $
ou
$ CM=1 - \dfrac{t}{100} $ avec $ t=5 $
Dans les deux raisonnements, on obtient évidemment le même coefficient multiplicateur $ 0{,}95 $. - Connaissant le coefficient multiplicateur, on a facilement le pourcentage d’évolution grâce à la relation : $ \dfrac{t}{100}=CM - 1 $
Le tableau ci-dessous résume les différents cas :
Calculs à effectuer Multiplier $ x $ par $\mathbf{\dfrac{t}{100}}$ Multiplier $ x $ par $\mathbf{1+\dfrac{t}{100}}$ Multiplier $ x $ par $\mathbf{1 - \dfrac{t}{100}}$ Fonction linéaire $ x\mapsto \dfrac{t}{100}\times x $ $ x\mapsto \left(1+\dfrac{t}{100}\right)\times x $ $ x\mapsto \left(1 - \dfrac{t}{100}\right)\times x $
Exemple
| Prendre $ 25\% $ de $ x $ | Augmenter $ x $ de $ 25\% $ | Diminuer $ x $ de $ 25\% $ | |
| Calculs à effectuer | Multiplier $ x $ par $ \dfrac{25}{100} $ | Multiplier $ x $ par $ 1{,}25 $ | Multiplier $ x $ par $ 0{,}75 $ |
| Fonction linéaire | $ x\mapsto 0{,}25\times x $ | $ x\mapsto 1{,}25\times x $ | $ x\mapsto 0{,}75\times x $ |
| Exemples | Prendre $ 25\% $ de 200 | Augmenter 50 de $ 25\% $ | Diminuer 50 de $ 25\% $ |
| Résultat | $ 0{,}25\times 200=50 $ | $ 1{,}25\times 50=62{,}5 $ | $ 0{,}75\times 50=37{,}5 $ |
Propriété (Évolutions successives)
Lors d’évolutions successives, le coefficient multiplicateur global est égal au produit des coefficients multiplicateurs de chaque évolution
Exemple
Le prix d’un objet augmente de $ 10\% $ puis diminue de $ 10\% $.
Le coefficient multiplicateur global est :
$ CM=\left(1+\dfrac{10}{100}\right)\left(1 - \dfrac{10}{100}\right)=0{,}99 $
Si $ t $ désigne le pourcentage d’évolution global en %, on a donc :
$ 1+\dfrac{t}{100}=0{,}99 $
$ \dfrac{t}{100}=0{,}99 - 1= - 0{,}01= - \dfrac{1}{100} $
Le prix de l’objet a globalement diminué de $ 1\% $.
Remarque
- Une hausse de $ t\% $ ne « compense » pas une baisse de $ t\% $. C’est dû au fait que les deux pourcentages ne portent pas sur le même montant.
En effet, si un objet coûtant 100 euros subit une augmentation de $ 10\% $ son prix passera à $ 110 $€ (les $ 10\% $ ont été calculé par rapport à $ 100 $€).
Si son prix subit ensuite une diminution de $ 10\% $, le montant de la baisse sera calculé par rapport au prix de $ 110 $€ et non plus de $ 100 $€. La baisse sera donc de $ 11 $€ et non $ 10 $€. - En cas d’évolutions successives, les pourcentages d’évolutions ne s’ajoutent (ni ne soustraient) jamais.
Définition et propriété (Taux d’évolution réciproque)
Si le taux d’évolution $ t \% $ fait passer de $ V_{0} $ à $ V_{1} $, on appelle taux d’évolution réciproque $ t^{\prime} \% $, le taux d’évolution qui fait passer de $ V_{1} $ à $ V_{0} $.
On a alors la relation suivante :
$ \left(1+\dfrac{t}{100}\right)\left(1+\dfrac{t^{\prime}}{100}\right)=1 $
Exemple
Le prix d’un article augmente de 60%. Pour qu’il revienne à son prix de départ, il faut qu’ensuite il varie de $ t^{\prime} \% $ tel que :
$ \left(1+\dfrac{60}{100}\right)\left(1+\dfrac{t^{\prime}}{100}\right)=1 $
$ 1{,}6\times \left(1+\dfrac{t^{\prime}}{100}\right)=1 $
$ 1+\dfrac{t^{\prime}}{100}=\dfrac{1}{1{,}6} $
$ 1+\dfrac{t^{\prime}}{100}=0{,}625 $
$ \dfrac{t^{\prime}}{100}= - 0{,}375 $
$ t^{\prime}= - 37{,}5 $
Il faut donc que le prix diminue de 37,5% pour compenser la hausse de 60%.
Les questions essentielles
1. Comment calculer une proportion ou appliquer un pourcentage ?
C’est la base du chapitre. Il y a deux situations :
- Prendre un pourcentage (calculer une part) : on multiplie le total par $\dfrac{t}{100}$. Exemple : $20\%$ de 500€ se calcule par $500 \times 0{,}20 = 100$€.
- Trouver un pourcentage (calculer un taux) : on divise la partie par le total. Exemple : 5 élèves sur 25 représente $\dfrac{5}{25} = 0{,}20 = 20\%$.
Voir la fiche méthode : Calculer une proportion ou un pourcentage
2. Comment calculer le taux d’évolution entre deux valeurs ?
Pour savoir de quel pourcentage une valeur a augmenté ou diminué, on utilise la formule du taux d’évolution : $\dfrac{V_{arrivée} - V_{départ}}{V_{départ}}$. Exemple : une note passe de 10 à 12, donc $\dfrac{12 - 10}{10} = 0{,}20$, soit une augmentation de $20\%$.
Voir la fiche méthode : Calculer un taux d’évolution
3. Comment calculer un prix après une augmentation ou une réduction ?
Pour calculer une valeur finale, le plus rapide est d’utiliser le coefficient multiplicateur (CM). Pour une hausse de $t\%$ : $CM = 1 + \dfrac{t}{100}$. Pour une baisse de $t\%$ : $CM = 1 - \dfrac{t}{100}$. Exemple : un pull à 50€ soldé à $-20\%$ coûte $50 \times 0{,}80 = 40$€.
Voir la fiche méthode : Calculer une valeur finale
4. Comment retrouver la valeur initiale avant une évolution ?
C’est une erreur classique : il ne faut jamais soustraire le pourcentage au prix final. Pour revenir en arrière, on divise la valeur finale par le coefficient multiplicateur. Exemple : un article coûte 120€ après une hausse de $20\%$, son prix initial est $\dfrac{120}{1{,}20} = 100$€.
Voir la fiche méthode : Retrouver une valeur initiale
5. Peut-on additionner les pourcentages lors d’évolutions successives ?
Non, les pourcentages ne s’additionnent jamais. Il faut multiplier les coefficients multiplicateurs entre eux. Exemple : une hausse de $10\%$ suivie d’une autre hausse de $10\%$ donne $1{,}10 \times 1{,}10 = 1{,}21$, soit une évolution globale de $+21\%$ (et non $+20\%$).
Voir la fiche méthode : Calculer une évolution globale