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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Pourcentages

1. Part en pourcentage

Définition

Soit EE un ensemble fini (que l'on appellera ensemble de référence) et FF une partie de l'ensemble EE. La part en pourcentage de FF par rapport à EE est le nombre :

t%=t100=card(F)card(E)t \% =\frac{t}{100}= \frac{card \left(F\right)}{card \left(E\right)}

où card(E)card \left(E\right) (cardinal de EE) désigne le nombre d'éléments de EE et card(F)card \left(F\right) le nombre d'éléments de FF.

On dit également que FF représente t%t\% de EE.

Remarques

  • 5%5\%, 5100\frac{5}{100} et 0,050,05 sont trois écritures différentes du même nombre (pourcentage, fraction, écriture décimale).

  • On est en présence d'une situation de proportionnalité que l'on peut représenter par le tableau suivant :

    tt nombre d'éléments de FF
    100100 nombre d'éléments de EE

  • Ceci peut également s'écrire : nombre d'éléments de F=t100×F =\frac{t}{100} \times nombre d'élements de EE.

    Cette dernière égalité permet de calculer le nombre d'éléments de FF connaissant sa part en pourcentage par rapport à EE

Exemples

  • Dans une classe de 2525 élèves qui compte 1515 garçons le pourcentage de garçons est :

    1525=0,6=60100=60%\frac{15}{25}=0,6=\frac{60}{100}=60\%

  • 16%16\% de 7575€ font : 16100×75=12\frac{16}{100}\times 75=12€

Propriété

Pourcentages de pourcentages Soit 3 ensembles E,F,GE, F, G tels que G⊂F⊂EG \subset F \subset E.

Si GG représente t1t_{1}% de FF et si FF représente t2t_{2}% de EE, la part en pourcentage de GG par rapport à EE est :

t100=t1100×t2100\frac{t}{100}=\frac{t_{1}}{100}\times \frac{t_{2}}{100}

Exemple

Dans un lycée de 800800 élèves :

  • 2525 % des élèves sont en Seconde;

  • 4545 % des élèves de Seconde sont des filles.

La part des filles de Seconde dans le lycée est :

t100=25100×45100=112510000=11,25100=11,25%\frac{t}{100}=\frac{25}{100}\times \frac{45}{100}=\frac{1125}{10000}=\frac{11,25}{100}=11,25\%

Le nombre de filles en Seconde est 11,25100×800=90\frac{11,25}{100}\times 800=90

2. Pourcentages d'évolution

Définition

On considère une quantité passant d'une valeur V0V_{0} à une valeur V1V_{1}.

Le pourcentage d'évolution de cette quantité est le nombre

t100=V1−V0V0\frac{t}{100}=\frac{V_{1} - V_{0}}{V_{0}}

Remarques

Le pourcentage d'évolution est positif dans le cas d'une augmentation et négatif dans le cas d'une diminution.

Exemple

Le prix d'un article passe de 80€ à 76€. Le pourcentage d'évolution est :

t100=76−8080=−480=−0,05=−5%\frac{t}{100}=\frac{76 - 80}{80}= - \frac{4}{80}= - 0,05= - 5\%

Le prix de l'article a diminué de 5%

Définition

On considère une quantité passant d'une valeur V0V_{0} à une valeur V1V_{1}.

Le coefficient multiplicateur est le nombre par lequel il faut multiplier V0V_{0} pour obtenir V1V_{1} :

V1=CM×V0V_{1}=CM \times V_{0}

Remarques

  • On a donc CM=V1V0CM=\frac{V_{1}}{V_{0}}

  • Le coefficient multiplicateur est supérieur à 1 dans le cas d'une augmentation et inférieur à 1 dans le cas d'une diminution.

  • La fonction qui à l'ancienne valeur associe la nouvelle valeur est : x↦CM×xx\mapsto CM\times x

    C'est une fonction linéaire de coefficient directeur CMCM

Propriété

Le coefficient multiplicateur s'exprime en fonction du pourcentage d'évolution par:

CM=1+t100CM=1+\frac{t}{100}

(où tt est positif en cas d'augmentation, négatif en cas de diminution)

Remarques

  • On a donc : V1=(1+t100)V0V_{1}=\left(1+\frac{t}{100}\right)V_{0}.

  • Dans le cas d'une diminution de 55%, par exemple, on pourra au choix considérer que :

    CM=1+t100CM=1+\frac{t}{100} avec t=−5t= - 5

    ou

    CM=1−t100CM=1 - \frac{t}{100} avec t=5t=5

    Dans les deux raisonnements, on obtient évidemment le même coefficient multiplicateur 0,950,95.

  • Connaissant le coefficient multiplicateur, on a facilement le pourcentage d'évolution grâce à la relation : t100=CM−1\frac{t}{100}=CM - 1

  • Le tableau ci-dessous résume les différents cas :

    Prendre t%t\% de xx Augmenter xx de t%t\% Diminuer xx de t%t\%
    Calculs à effectuer Multiplier xx par t100\frac{t}{100} Multiplier xx par 1+t1001+\frac{t}{100} Multiplier xx par 1−t1001 - \frac{t}{100}
    Fonction linéaire x↦t100×xx\mapsto \frac{t}{100}\times x x↦(1+t100)×xx\mapsto \left(1+\frac{t}{100}\right)\times x x↦(1−t100)×xx\mapsto \left(1 - \frac{t}{100}\right)\times x

Exemple

Prendre 25%25\% de xx Augmenter xx de 25%25\% Diminuer xx de 25%25\%
Calculs à effectuer Multiplier xx par 25100\frac{25}{100} Multiplier xx par 1,251,25 Multiplier xx par 0,750,75
Fonction linéaire x↦0,25×xx\mapsto 0,25\times x x↦1,25×xx\mapsto 1,25\times x x↦0,75×xx\mapsto 0,75\times x
Exemples Prendre 25%25\% de 200 Augmenter 50 de 25%25\% Diminuer 50 de 25%25\%
Résultat 0,25×200=500,25\times 200=50 1,25×50=62,51,25\times 50=62,5 0,75×50=37,50,75\times 50=37,5

Propriété (Évolutions successives)

Lors d'évolutions successives, le coefficient multiplicateur global est égal au produit des coefficients multiplicateurs de chaque évolution

Exemple

Le prix d'un objet augmente de 10%10\% puis diminue de 10%10\%.

Le coefficient multiplicateur global est :

CM=(1+10100)(1−10100)=0,99CM=\left(1+\frac{10}{100}\right)\left(1 - \frac{10}{100}\right)=0,99

Si tt désigne le pourcentage d'évolution global en %, on a donc :

1+t100=0,991+ \frac{t}{100}=0,99

t100=0,99−1=−0,01=−1100\frac{t}{100}=0,99 - 1= - 0,01= - \frac{1}{100}

Le prix de l'objet a globalement diminué de 1%1\%.

Remarques

  • Une hausse de t%t\% ne "compense" pas une baisse de t%t\%. C'est dû au fait que les deux pourcentages ne portent pas sur le même montant.

    En effet, si un objet coûtant 100 euros subit une augmentation de 10%10\% son prix passera à 110110€ (les 10%10\% ont été calculé par rapport à 100100€).

    Si son prix subit ensuite une diminution de 10%10\%, le montant de la baisse sera calculé par rapport au prix de 110110€ et non plus de 100100€. La baisse sera donc de 1111€ et non 1010€.

  • En cas d'évolution successives, les pourcentages d'évolutions ne s'ajoutent (ni ne soustraient) jamais.

Définition et propriété (Taux d'évolution réciproque)

Si le taux d'évolution t%t \% fait passer de V0V_{0} à V1V_{1}, on appelle taux d'évolution réciproque t′%t^{\prime} \%, le taux d'évolution qui fait passer de V1V_{1} à V0V_{0}.

On a alors la relation suivante :

(1+t100)(1+t′100)=1\left(1+\frac{t}{100}\right)\left(1+\frac{t^{\prime}}{100}\right)=1

Exemple

Le prix d'un article augmente de 60%. Pour qu'il revienne à son prix de départ, il faut qu'ensuite il varie de t′%t^{\prime} \% tel que :

(1+60100)(1+t′100)=1\left(1+\frac{60}{100}\right)\left(1+\frac{t^{\prime}}{100}\right)=1

1,6×(1+t′100)=11,6\times \left(1+\frac{t^{\prime}}{100}\right)=1

1+t′100=11,61+\frac{t^{\prime}}{100}=\frac{1}{1,6}

1+t′100=0,6251+\frac{t^{\prime}}{100}=0,625

t′100=−0,375\frac{t^{\prime}}{100}= - 0,375

t′=−37,5t^{\prime}= - 37,5

Il faut donc que le prix diminue de 37,5% pour compenser la hausse de 60%.

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