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Seconde

Cours

Pourcentages

1. Part en pourcentage

Définition

Soit E un ensemble fini (que l'on appellera ensemble de référence) et F une partie de l'ensemble E. La part en pourcentage de F par rapport à E est le nombre :

t \% =\frac{t}{100}= \frac{card \left(F\right)}{card \left(E\right)}

où card \left(E\right) (cardinal de E) désigne le nombre d'éléments de E et card \left(F\right) le nombre d'éléments de F. On dit également que F représente t\% de E.

Remarques

  • 5\%, \frac{5}{100} et 0,05 sont trois écritures différentes du même nombre (pourcentage, fraction, écriture décimale).
  • On est en présence d'une situation de proportionnalité que l'on peut représenter par le tableau suivant :
    tnombre d'éléments de F
    100nombre d'éléments de E
  • Ceci peut également s'écrire : nombre d’éléments de F =\frac{t}{100} \times nombre d'élements de E. Cette dernière égalité permet de calculer le nombre d'éléments de F connaissant sa part en pourcentage par rapport à E

Exemples

  • Dans une classe de 25 élèves qui compte 15 garçons le pourcentage de garçons est : \frac{15}{25}=0,6=\frac{60}{100}=60\%
  • 16\% de 75€ font : \frac{16}{100}\times 75=12€

Propriété

Pourcentages de pourcentages Soit 3 ensembles E, F, G tels que G \subset F \subset E. Si G représente t_{1}% de F et si F représente t_{2}% de E, la part en pourcentage de G par rapport à E est :

\frac{t}{100}=\frac{t_{1}}{100}\times \frac{t_{2}}{100}

Exemple

Dans un lycée de 800 élèves :
  • 25 % des élèves sont en Seconde;
  • 45 % des élèves de Seconde sont des filles.
La part des filles de Seconde dans le lycée est : \frac{t}{100}=\frac{25}{100}\times \frac{45}{100}=\frac{1125}{10000}=\frac{11,25}{100}=11,25\% Le nombre de filles en Seconde est \frac{11,25}{100}\times 800=90

2. Pourcentages d'évolution

Définition

On considère une quantité passant d'une valeur V_{0} à une valeur V_{1}. Le pourcentage d'évolution de cette quantité est le nombre

\frac{t}{100}=\frac{V_{1}-V_{0}}{V_{0}}

Remarques

Le pourcentage d'évolution est positif dans le cas d'une augmentation et négatif dans le cas d'une diminution.

Exemple

Le prix d'un article passe de 80€ à 76€. Le pourcentage d'évolution est :

\frac{t}{100}=\frac{76-80}{80}=-\frac{4}{80}=-0,05=-5\%

Le prix de l'article a diminué de 5%

Définition

On considère une quantité passant d'une valeur V_{0} à une valeur V_{1}. Le coefficient multiplicateur est le nombre par lequel il faut multiplier V_{0} pour obtenir V_{1} : V_{1}=CM \times V_{0}

Remarques

  • On a donc CM=\frac{V_{1}}{V_{0}}
  • Le coefficient multiplicateur est supérieur à 1 dans le cas d'une augmentation et inférieur à 1 dans le cas d'une diminution.
  • La fonction qui à l'ancienne valeur associe la nouvelle valeur est : x\mapsto CM\times x C'est une fonction linéaire de coefficient directeur CM

Propriété

Le coefficient multiplicateur s'exprime en fonction du pourcentage d'évolution par: CM=1+\frac{t}{100} (où t est positif en cas d'augmentation, négatif en cas de diminution)

Remarques

  • On a donc : V_{1}=\left(1+\frac{t}{100}\right)V_{0}.
  • Dans le cas d'une diminution de 5%, par exemple, on pourra au choix considérer que : CM=1+\frac{t}{100} avec t=-5 ou CM=1-\frac{t}{100} avec t=5 Dans les deux raisonnements, on obtient évidemment le même coefficient multiplicateur 0,95.
  • Connaissant le coefficient multiplicateur, on a facilement le pourcentage d'évolution grâce à la relation : \frac{t}{100}=CM-1
  • Le tableau ci-dessous résume les différents cas :
    Prendre t\% de x Augmenter x de t\% Diminuer x de t\%
    Calculs à effectuer Multiplier x par \frac{t}{100} Multiplier x par
    1+\frac{t}{100}
    Multiplier x par
    1-\frac{t}{100}
    Fonction linéaire x\mapsto \frac{t}{100}\times x x\mapsto \left(1+\frac{t}{100}\right)\times x x\mapsto \left(1-\frac{t}{100}\right)\times x

Exemple

Prendre 25\% de x Augmenter x de 25\% Diminuer x de 25\%
Calculs à effectuer Multiplier x par \frac{25}{100} Multiplier x par 1,25 Multiplier x par 0,75
Fonction linéaire x\mapsto 0,25\times x x\mapsto 1,25\times x x\mapsto 0,75\times x
Exemples Prendre 25\% de 200 Augmenter 50 de 25\% Diminuer 50 de 25\%
Résultat 0,25\times 200=50 1,25\times 50=62,5 0,75\times 50=37,5

Propriété (Évolutions successives)

Lors d'évolutions successives, le coefficient multiplicateur global est égal au produit des coefficients multiplicateurs de chaque évolution

Exemple

Le prix d'un objet augmente de 10\% puis diminue de 10\%. Le coefficient multiplicateur global est :

CM=\left(1+\frac{10}{100}\right)\left(1-\frac{10}{100}\right)=0,99

Si t désigne le pourcentage d'évolution global en %, on a donc : 1+ \frac{t}{100}=0,99 \frac{t}{100}=0,99-1=-0,01=-\frac{1}{100} Le prix de l'objet a globalement diminué de 1\%.

Remarques

  • Une hausse de t\% ne "compense" pas une baisse de t\%. C'est dû au fait que les deux pourcentages ne portent pas sur le même montant. En effet, si un objet coûtant 100 euros subit une augmentation de 10\% son prix passera à 110€ (les 10\% ont été calculé par rapport à 100€). Si son prix subit ensuite une diminution de 10\%, le montant de la baisse sera calculé par rapport au prix de 110€ et non plus de 100€. La baisse sera donc de 11€ et non 10€.
  • En cas d'évolution successives, les pourcentages d'évolutions ne s'ajoutent (ni ne soustraient) jamais.

Définition et propriété (Taux d'évolution réciproque)

Si le taux d'évolution t \% fait passer de V_{0} à V_{1}, on appelle taux d'évolution réciproque t^{\prime} \%, le taux d'évolution qui fait passer de V_{1} à V_{0}. On a alors la relation suivante :

\left(1+\frac{t}{100}\right)\left(1+\frac{t^{\prime}}{100}\right)=1

Exemple

Le prix d'un article augmente de 60%. Pour qu'il revienne à son prix de départ, il faut qu'ensuite il varie de t^{\prime} \% tel que : \left(1+\frac{60}{100}\right)\left(1+\frac{t^{\prime}}{100}\right)=1 1,6\times \left(1+\frac{t^{\prime}}{100}\right)=1 1+\frac{t^{\prime}}{100}=\frac{1}{1,6} 1+\frac{t^{\prime}}{100}=0,625 \frac{t^{\prime}}{100}=-0,375 t^{\prime}=-37,5 Il faut donc que le prix diminue de 37,5% pour compenser la hausse de 60%.
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