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Pourcentages Exercices

Pourcentages : Taux d’augmentation

Durée estimée
20 minutes
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Objectif travaillé

Exercices

  1. André a placé une somme de 1 000 euros à intérêts composés, pendant deux ans. Au bout des deux ans, son capital est égal à 1 265 euros. Marie lui dit que son capital a augmenté de 26,5%.

    Prouver qu'elle a raison.

  2. La première année du placement, le taux était égal à $ t \% $ et la deuxième année, il était égal à $ 1{,}5t \% $ . Paul dit à André que son capital a été multiplié par $ 2{,}5 t $ et Jérémie prétend qu'il a été multiplié par :

    $ \left(1+\dfrac{t}{100}\right)\times \left(1+\dfrac{1{,}5t}{100}\right) $

    Qui a raison et pourquoi ?

  3. a. Montrer que $ t $ est solution de l'équation :

    $ 3t^2+500t-5300=0 $

    b. Vérifier que pour tout réel $ t $ :

    $ (t-10)(3t+530) = 3t^2+500t-5300 $

    c. En déduire la valeur de $ t $.

Corrigé

  1. Le montant du capital après deux ans est de 1 265 euros.

    Le montant initial est de 1 000 euros.

    Le coefficient multiplicateur est :

    $ CM = \dfrac{1265}{1000} = 1{,}265 $

    Ce qui correspond à une augmentation de $ (1{,}265 - 1) \times 100 = 26{,}5 \% $.

    Marie a donc raison.

  2. Lorsqu'une grandeur subit deux évolutions successives, le coefficient multiplicateur global est le produit des coefficients multiplicateurs de chaque évolution.

    Le coefficient multiplicateur correspondant à une hausse de $ t \% $ est $ 1 + \dfrac{t}{100} $.

    Le coefficient multiplicateur correspondant à une hausse de $ 1{,}5t \% $ est $ 1 + \dfrac{1{,}5t}{100} $.

    Le coefficient multiplicateur global est donc :

    $ CM = \left(1+\dfrac{t}{100}\right)\times \left(1+\dfrac{1{,}5t}{100}\right) $

    C'est Jérémie qui a raison. Paul a additionné les taux, ce qui est une erreur classique (les pourcentages ne s'additionnent pas).

  3. a. On cherche $ t $ tel que l'évolution globale corresponde à une hausse de 26,5% (donc un coefficient multiplicateur de $1{,}265$).

    On doit résoudre l'équation :

    $ \left(1+\dfrac{t}{100}\right)\times \left(1+\dfrac{1{,}5t}{100}\right) = 1{,}265 $

    Développons :

    $ 1 + \dfrac{1{,}5t}{100} + \dfrac{t}{100} + \dfrac{1{,}5t^2}{10000} = 1{,}265 $
    $ 1 + \dfrac{2{,}5t}{100} + \dfrac{1{,}5t^2}{10000} = 1{,}265 $

    En multipliant tout par 10 000 pour éliminer les dénominateurs :

    $ 10000 + 250t + 1{,}5t^2 = 12650 $

    $ 1{,}5t^2 + 250t + 10000 - 12650 = 0 $

    $ 1{,}5t^2 + 250t - 2650 = 0 $

    On peut multiplier par 2 pour avoir des coefficients entiers :

    $ 3t^2 + 500t - 5300 = 0 $

    b. Développons l'expression donnée :

    $ (t-10)(3t+530) = 3t^2 + 530t - 30t - 5300 $

    $ (t-10)(3t+530) = 3t^2 + 500t - 5300 $

    On retrouve bien l'expression de l'équation précédente.

    c. Résoudre $ 3t^2 + 500t - 5300 = 0 $ revient à résoudre l'équation produit-nul :

    $ (t-10)(3t+530) = 0 $

    Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins des facteurs est nul :

    $ t-10 = 0 $ ou $ 3t+530 = 0 $

    $ t = 10 $ ou $ 3t = -530 \iff t = -\dfrac{530}{3} $

    Comme $ t $ est un taux d'augmentation, il doit être positif. La seule solution convenable est donc $ t = 10 $.

    Le taux de la première année était de 10 %.