Application Suites en Terminale
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Créer un comptePourquoi utiliser l'application Suites en Terminale
En Terminale, les suites sont au cœur du chapitre Limites : on conjecture, on encadre, on étudie un point fixe ou la convergence d'une série géométrique. La calculatrice ne remplace jamais la démonstration, mais elle permet d'explorer une suite avant de prouver son comportement, en particulier pour des récurrences difficiles à itérer à la main.
L'application Suites de la NumWorks couvre tous les cas du programme : suites explicites, suites récurrentes d'ordre 1 (déjà vues en Première) et suites récurrentes d'ordre 2, qui n'apparaissent qu'en Terminale. On y accède depuis , en sélectionnant la vignette Suites avec les flèches puis OK.
Remarque
Si tu n'as jamais utilisé cette application, parcoure d'abord le tuto NumWorks de Première sur les suites : tu y trouveras la saisie d'une suite explicite, la lecture sur le graphique et le tableau de valeurs. Ce tuto‑ci se concentre sur les usages spécifiques de la Terminale.
Saisir une suite récurrente d'ordre 2
Une suite définie par récurrence d'ordre 2 s'écrit $u_{n+2} = f(u_{n+1}, u_n)$ et nécessite deux termes initiaux $u_0$ et $u_1$. C'est typiquement le cas de la suite de Fibonacci ou des suites du type $u_{n+2} = a\,u_{n+1} + b\,u_n$ qui apparaissent dans les exercices d'équation caractéristique.
Sur la NumWorks, ce type de suite a son propre éditeur. Pour le choisir, place la sélection sur Ajouter une suite, appuie sur OK puis sélectionne Récurrente d'ordre 2. La barre d'édition affiche $u(n+2) =$ et attend une expression dépendant à la fois de $u(n+1)$ et de $u(n)$. Pour les obtenir sans erreur, le plus simple est de passer par la Boîte à outils (toolbox) qui propose les raccourcis $u(n)$ et $u(n+1)$ tout prêts.
Suite de Fibonacci
On veut saisir la suite de Fibonacci définie par $F_{n+2} = F_{n+1} + F_n$ avec $F_0 = 0$ et $F_1 = 1$. Sur Ajouter une suite → OK → Récurrente d'ordre 2, saisis l'expression :
toolbox (sélectionne u(n+1)) + toolbox (sélectionne u(n)) OK
L'expression $u(n+2) = u(n+1) + u(n)$ apparaît, suivie de deux lignes $u(0) =$ et $u(1) =$. Sélectionne‑les et tape respectivement 0 OK puis 1 OK. Bascule sur l'onglet Tableau pour vérifier : $F_2 = 1, F_3 = 2, F_4 = 3, F_5 = 5, F_6 = 8, F_7 = 13$ — la suite de Fibonacci.
Suite arithmético‑géométrique d'ordre 2
On veut étudier la suite définie par $u_{n+2} = 0{,}5\,u_{n+1} + 0{,}5\,u_n$ avec $u_0 = 0$ et $u_1 = 1$. Cette suite, classique en Terminale, vérifie l'équation caractéristique $x^2 = 0{,}5x + 0{,}5$ qui a pour racines $1$ et $-0{,}5$. La théorie prédit donc une limite finie. Saisis‑la sur Récurrente d'ordre 2 :
0 . 5 toolbox u(n+1) + 0 . 5 toolbox u(n) OK
Renseigne $u(0) = 0$ et $u(1) = 1$. Bascule sur Tableau : $u_2 = 0{,}5, u_3 = 0{,}75, u_4 = 0{,}625, u_5 = 0{,}6875, u_6 = 0{,}65625$… les termes oscillent et se rapprochent visiblement de $0{,}666\ldots$, soit $\dfrac{2}{3}$. C'est cohérent avec la formule fermée $u_n = \dfrac{2}{3}\left(1 - (-0{,}5)^n\right)$.
Remarque
CAPTURE À GÉNÉRER — Onglet Suites avec la suite récurrente d'ordre 2 $u(n+2) = 0{,}5\,u(n+1) + 0{,}5\,u(n)$ saisie, suivie des deux lignes $u(0) = 0$ et $u(1) = 1$.
Touches : → Suites → OK → Ajouter une suite → Récurrente d'ordre 2 → expression → OK → renseigner $u(0)$ et $u(1)$
Attention
N'oublie pas qu'une suite récurrente d'ordre 2 a deux termes initiaux : si tu n'en saisis qu'un, la NumWorks affiche Indéfini dans le tableau et le graphique reste vide. La lecture des termes ne fonctionne qu'à partir du moment où $u(0)$ et $u(1)$ sont renseignés.
Conjecturer une limite à partir de termes lointains
En Terminale, on cherche souvent à conjecturer la limite d'une suite avant de la démontrer. Les huit premiers termes ne suffisent pas toujours : pour une suite qui converge lentement, il faut aller voir $u_{100}$ ou $u_{1000}$. La NumWorks permet de saisir directement une valeur de $n$ dans la première colonne du tableau, sans changer l'intervalle de pas.
| Bascule sur l'onglet Tableau | |
| Place la sélection sur une case de la colonne N | Avec |
| Tape la valeur souhaitée puis OK | Par exemple 1 0 0 OK pour aller à $u_{100}$ |
| La colonne $u(n)$ se met à jour | Le terme s'affiche immédiatement, à la précision de la calculatrice |
Conjecturer la limite d'une suite explicite
On veut conjecturer la limite de $u_n = \left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^{n}$. Cette suite converge vers $\mathrm{e} \approx 2{,}71828$, mais très lentement. Saisis‑la comme suite explicite :
( 1 + 1 / x,n,t ) ^ x,n,t OK
Sur l'onglet Tableau, saisis successivement $n = 1, 10, 100, 1000$ dans la colonne de gauche. Tu lis :
$u_1 = 2$, $u_{10} \approx 2{,}5937$, $u_{100} \approx 2{,}7048$, $u_{1000} \approx 2{,}7169$.
La convergence vers $\mathrm{e}$ est nette mais lente. C'est exactement le type d'observation qui justifie qu'en Terminale, on travaille avec des suites équivalentes ou des théorèmes plutôt que de continuer à itérer.
Croissances comparées
On veut conjecturer la limite de $u_n = \dfrac{n}{2^{n}}$. Cette suite illustre le théorème des croissances comparées : la puissance bat le polynôme. Saisis‑la en explicite :
x,n,t / 2 ^ x,n,t OK
Sur le tableau : $u_5 \approx 0{,}156$, $u_{10} \approx 0{,}0098$, $u_{20} \approx 1{,}9 \times 10^{-5}$, $u_{50} \approx 4{,}4 \times 10^{-14}$. La suite converge clairement vers $0$, et beaucoup plus vite que la précédente — la croissance comparée est bien plus puissante que la simple décroissance polynomiale.
Remarque
CAPTURE À GÉNÉRER — Onglet Tableau de la suite $u_n = (1+1/n)^n$ avec les valeurs $n = 1, 10, 100, 1000$ saisies manuellement et les images correspondantes dans la colonne $u(n)$.
Touches : onglet Tableau → sélectionner une case de la colonne $N$ → taper la valeur → OK
Astuce
Quand tu compares deux suites, garde‑les toutes les deux dans la liste : la NumWorks affiche les colonnes $u(n)$ et $v(n)$ côte à côte. C'est très efficace pour comparer une suite et son équivalent supposé, ou pour vérifier qu'une encadrante converge bien à la même vitesse que la suite étudiée.
Recherche d'un seuil
La recherche de seuil est un classique des sujets de bac : à partir de quel rang $n$ a‑t‑on $u_n > A$ (ou $u_n < \varepsilon$) ? Plutôt que de coder un programme Python, tu peux utiliser le tableau pour balayer rapidement les valeurs.
| Saisis la suite et bascule sur l'onglet Tableau | |
| Sélectionne Régler l'intervalle | OK |
| Choisis un pas large pour balayer | Par exemple début $0$, fin $100$, pas $10$ |
| Repère l'intervalle où $u_n$ franchit le seuil | Lecture visuelle dans la colonne |
| Affine en saisissant manuellement les valeurs intermédiaires | Voir section précédente |
Recherche d'un seuil sur une suite géométrique
On cherche à partir de quel rang $n$ on a $1{,}05^{n} > 10$. Saisis la suite explicite $u_n = 1{,}05^{n}$ :
1 . 0 5 ^ x,n,t OK
Sur l'onglet Tableau, règle l'intervalle de $0$ à $100$ avec un pas de $10$. Tu lis :
$u_{40} \approx 7{,}04$, $u_{50} \approx 11{,}47$.
Le seuil $10$ est franchi entre $n=40$ et $n=50$. Affine en saisissant manuellement $n = 45$ ($u_{45} \approx 8{,}99$), $n = 47$ ($u_{47} \approx 9{,}91$), $n = 48$ ($u_{48} \approx 10{,}40$). Conclusion : le plus petit entier $n$ tel que $1{,}05^{n} > 10$ est $\boxed{n = 48}$.
Tu peux ensuite confirmer par le calcul exact dans l'application Calculs : $n > \dfrac{\ln 10}{\ln 1{,}05} \approx 47{,}19$, ce qui donne bien $n = 48$.
Astuce
La recherche de seuil par tableau est plus rapide que la version Python pour les exercices simples, mais elle ne se justifie pas dans une copie de bac : la rédaction attendue passe par le logarithme ou par un programme. Sers‑toi du tableau pour conjecturer la valeur du seuil, puis rédige proprement avec la méthode du cours.
Somme partielle d'une série géométrique
En Terminale, on étudie la convergence des séries géométriques : si $|q| < 1$, alors $\sum_{k=0}^{n} q^{k} \to \dfrac{1}{1-q}$ quand $n \to +\infty$. La NumWorks calcule la somme directement depuis l'onglet Graphique (option Somme des termes), ce qui permet de visualiser la convergence en faisant grandir la borne supérieure.
Convergence d'une série géométrique de raison positive
On veut visualiser la convergence de $\sum_{k=0}^{n} 0{,}5^{k}$ vers $2$. Saisis la suite explicite $u_n = 0{,}5^{n}$ :
0 . 5 ^ x,n,t OK
Bascule sur l'onglet Graphique et appuie sur OK → Somme des termes. Indique successivement plusieurs bornes :
- Premier $0$, dernier $5$ → $\sum = 1{,}96875$
- Premier $0$, dernier $10$ → $\sum \approx 1{,}99902$
- Premier $0$, dernier $20$ → $\sum \approx 1{,}999999$
Les sommes partielles s'approchent visiblement de $2$, ce qui confirme la formule $\dfrac{1}{1 - 0{,}5} = 2$.
Série géométrique de raison négative
On veut calculer la somme partielle de $\sum_{k=0}^{n} (-0{,}8)^{k}$. La raison négative $q = -0{,}8$ donne une suite alternée. Saisis $u_n = (-0{,}8)^{n}$ — attention, il faut taper $-0{,}8$ entre parenthèses :
( - 0 . 8 ) ^ x,n,t OK
Sur l'onglet Graphique, somme de $0$ à $10$ : $\sum \approx 0{,}5478$. Somme de $0$ à $30$ : $\sum \approx 0{,}5556$. La limite théorique est $\dfrac{1}{1-(-0{,}8)} = \dfrac{1}{1{,}8} \approx 0{,}5556$ — l'approximation est excellente, ce qui montre la convergence rapide pour $|q|$ assez éloigné de $1$.
Remarque
CAPTURE À GÉNÉRER — Graphique de la suite $u_n = 0{,}5^{n}$ en mode Somme des termes, zone colorée entre $n=0$ et $n=10$, bandeau bas affichant $\sum \approx 1{,}99902$.
Touches : (avec la suite saisie) onglet Graphique → OK → Somme des termes → premier $0$ OK → dernier $1$ 0 OK
Attention
Pour une raison $|q| \geqslant 1$, la série diverge. La NumWorks affichera quand même un nombre — celui de la somme partielle, qui n'a aucune raison d'être proche d'une limite. Vérifie toujours la condition $|q| < 1$ avant de conclure à une convergence à partir d'une lecture sur la calculatrice.
Graphique en escalier — étudier un point fixe
Le graphique en escalier, déjà présent en Première, prend tout son sens en Terminale : on l'utilise pour conjecturer la limite d'une suite récurrente $u_{n+1} = f(u_n)$ avant de la démontrer rigoureusement (suite monotone bornée, théorème du point fixe). La NumWorks superpose la courbe de $f$ et la droite $y = x$, puis trace l'escalier qui visualise le passage de chaque terme au suivant.
Convergence vers un point fixe
On veut étudier la suite définie par $u_{n+1} = \sqrt{2 + u_n}$ avec $u_0 = 0$ et conjecturer sa convergence vers $2$. Cette suite illustre un cas typique de point fixe attractif. Saisis‑la en Récurrente d'ordre 1 :
√ 2 + toolbox (sélectionne u(n)) OK
Renseigne $u(0) = 0$. Sur l'onglet Tableau, les premiers termes sont : $u_1 = \sqrt{2} \approx 1{,}414$, $u_2 \approx 1{,}848$, $u_3 \approx 1{,}962$, $u_4 \approx 1{,}990$, $u_5 \approx 1{,}998$. La suite semble croissante et bornée par $2$ — donc convergente.
Bascule sur l'onglet Graphique, appuie sur OK → Graphique en escalier → OK. La NumWorks trace la courbe $y = \sqrt{2+x}$ et la droite $y = x$. Avance avec : l'escalier monte en se rapprochant du point d'intersection $(2\,;\,2)$. La limite candidate $\ell$ vérifie $\ell = \sqrt{2 + \ell}$, soit $\ell^2 - \ell - 2 = 0$ d'où $\ell = 2$ (l'autre racine $-1$ est exclue car la suite est positive).
Remarque
CAPTURE À GÉNÉRER — Graphique en escalier de la suite $u_{n+1} = \sqrt{2+u_n}$, $u_0 = 0$, après plusieurs pas : on voit la courbe $y = \sqrt{2+x}$, la droite $y = x$ et l'escalier qui converge vers le point $(2\,;\,2)$.
Touches : (suite saisie) onglet Graphique → OK → Graphique en escalier → OK → plusieurs fois
Attention
Le graphique en escalier est un outil de conjecture, jamais de preuve. La rédaction attendue en Terminale passe par : démontrer que la suite est croissante (souvent par récurrence), démontrer qu'elle est majorée, conclure à la convergence, identifier la limite par continuité de $f$. La calculatrice te dit où regarder, le théorème te dit pourquoi c'est vrai.
Astuce
Pour une suite susceptible d'osciller (par exemple $u_{n+1} = -0{,}9\,u_n + 1$), le graphique en escalier prend la forme d'une spirale qui s'enroule autour du point fixe : très visuel, et un excellent moyen de comprendre pourquoi la condition $|f'(\ell)| < 1$ assure la stabilité du point fixe (théorème vu en début de Terminale spé).