Analyse en Terminale avec la NumWorks

On sait que $\int_0^1 x^2\,\mathrm{d}x = \left[\dfrac{x^3}{3}\right]_0^1 = \dfrac{1}{3}$. Pour vérifier, ouvre Calculs, déclenche toolbox → Analyse → Intégrale → OK puis remplis : intégrande $x^2$, variable $x$, borne basse $0$, borne haute $1$. La calculatrice affiche $0{,}3333\ldots$, qui correspond bien à la valeur approchée de $\dfrac{1}{3}$.

La primitive de $\mathrm{e}^x$ est $\mathrm{e}^x$, donc l'intégrale vaut $\mathrm{e} - 1$. Saisis l'intégrande avec la touche dédiée e^x :

$\int_0^1 \mathrm{e}^x\,\mathrm{d}x$ → la NumWorks affiche 1,71828…, qui est la valeur approchée de $\mathrm{e} - 1$. C'est cohérent avec l'aire visible sous la courbe de l'exponentielle entre $0$ et $1$.

La fonction $x \mapsto \mathrm{e}^{-x^2}$ n'a pas de primitive exprimable avec les fonctions usuelles — c'est la fameuse intégrale de Gauss. Saisis dans Calculs $\int_0^1 \mathrm{e}^{-x^2}\,\mathrm{d}x$ : la NumWorks affiche ≈ 0,7468. Cette valeur est une estimation numérique (quadrature) que tu ne pourrais pas obtenir à la main, mais qui est utile en exercice pour conjecturer un encadrement.

On attend $\int_0^2 x^2\,\mathrm{d}x = \dfrac{8}{3} \approx 2{,}667$. Saisis $f(x) = x^2$ dans le grapheur, bascule sur Graphique, puis OK → Rechercher → Intégrale. Tape :

0 OK 2 OK

La zone sous la courbe entre $x = 0$ et $x = 2$ se colorie, et le bandeau affiche 2,6667. La valeur correspond bien à $\dfrac{8}{3}$, et l'aire visible donne immédiatement l'échelle du résultat (un peu plus de la moitié du carré $[0\,;\,2] \times [0\,;\,4]$).

La fonction $f(x) = x^3$ est impaire, donc $\int_{-1}^{1} x^3\,\mathrm{d}x = 0$. Saisis $f(x) = x^3$ et demande l'intégrale entre $-1$ et $1$ : la NumWorks colorie deux zones, l'une en dessous de l'axe (entre $-1$ et $0$) et l'autre au-dessus (entre $0$ et $1$). Le bandeau affiche 0 : les deux aires algébriques se compensent. C'est une excellente illustration que l'intégrale ne mesure pas une aire géométrique, mais une aire signée.

Sur $[0\,;\,1]$, on a $x \geqslant x^2$, donc l'aire vaut $\int_0^1 (x - x^2)\,\mathrm{d}x = \left[\dfrac{x^2}{2} - \dfrac{x^3}{3}\right]_0^1 = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{6}$. Saisis dans le grapheur :

- $f(x) = x^2$
- $g(x) = x$

Bascule sur Graphique. Place le curseur sur l'une des deux courbes, OK → Rechercher → Aire entre deux courbes. Tape :

0 OK 1 OK

Le domaine entre la parabole et la droite se colorie, et le bandeau affiche 0,16667, soit $\dfrac{1}{6}$. La visualisation confirme que la droite est bien au-dessus de la parabole sur $[0\,;\,1]$ — un piège classique consiste à inverser et obtenir un résultat négatif à la main.

Sur cet intervalle, $\sin x \geqslant \cos x$ et l'aire exacte vaut $2\sqrt{2}$. Saisis $f(x) = \sin x$ et $g(x) = \cos x$ — vérifie au passage que la calculatrice est en mode radian dans les paramètres, sinon les courbes seront méconnaissables. Pour les bornes, tape directement $\pi/4$ et $5\pi/4$ avec shift π : la NumWorks colorie le « pétale » entre les deux sinusoïdes et affiche 2,8284, qui est bien $2\sqrt{2} \approx 2{,}828$.

On sait que $f'(x) = 3x^2 - 3$ et $f''(x) = 6x$. La dérivée seconde s'annule en $0$ et change de signe : la courbe a donc un point d'inflexion en $0$. Vérifie avec la NumWorks :

- $\text{diff}(x^3 - 3x,\ x,\ 0,\ 2)$ → 0
- $\text{diff}(x^3 - 3x,\ x,\ 1,\ 2)$ → 6 (positif, donc $f$ convexe en $1$)
- $\text{diff}(x^3 - 3x,\ x,\ -1,\ 2)$ → −6 (négatif, donc $f$ concave en $-1$)

Les trois résultats confirment que $f$ est concave sur $]{-\infty}\,;\,0]$, convexe sur $[0\,;\,{+\infty}[$, avec un point d'inflexion d'abscisse $0$.

La fonction logarithme népérien vérifie $f''(x) = -\dfrac{1}{x^2}$, donc $f''(x) < 0$ pour tout $x > 0$ : la courbe de $\ln$ est concave sur tout son domaine. Vérification rapide avec la touche dédiée ln :

- $\text{diff}(\ln(x),\ x,\ 1,\ 2)$ → −1
- $\text{diff}(\ln(x),\ x,\ 2,\ 2)$ → −0,25
- $\text{diff}(\ln(x),\ x,\ 10,\ 2)$ → −0,01

La dérivée seconde reste négative, sa valeur absolue diminue : la concavité s'« aplatit » quand $x$ grandit, ce qui est conforme à la courbe quasi-horizontale du logarithme pour $x$ grand.

Pour $f(x) = \mathrm{e}^x$, on a $f''(x) = \mathrm{e}^x > 0$ partout : l'exponentielle est convexe sur $\mathbb{R}$. Tape (touche e^x dédiée) :

- $\text{diff}(\mathrm{e}^x,\ x,\ 0,\ 2)$ → 1
- $\text{diff}(\mathrm{e}^x,\ x,\ 1,\ 2)$ → 2,71828… (valeur approchée de $\mathrm{e}$)
- $\text{diff}(\mathrm{e}^x,\ x,\ -2,\ 2)$ → 0,1353… (valeur approchée de $\mathrm{e}^{-2}$)

Les trois valeurs sont strictement positives — pas de changement de signe, donc pas de point d'inflexion, ce qui est cohérent avec le tracé de la courbe.

Le théorème des croissances comparées affirme que $\dfrac{\ln x}{x} \to 0$. Saisis $f(x) = \dfrac{\ln(x)}{x}$ avec la touche ln, puis va sur l'onglet Tableau et tape successivement $x = 10, 100, 1000, 10^6$ dans la colonne de gauche. Tu lis :

La décroissance vers $0$ est nette, mais très lente — ce qui justifie qu'on ne se contente pas du tableau pour conclure, et qu'on démontre proprement avec le théorème des croissances comparées.

On sait que l'exponentielle écrase tout polynôme : $\lim\limits_{x \to +\infty} x^2 \mathrm{e}^{-x} = 0$. Saisis $f(x) = x^2 \mathrm{e}^{-x}$ (touche e^x avec exposant $-x$) puis lis dans le tableau :

$f(5) \approx 0{,}1684$, $f(10) \approx 4{,}54 \times 10^{-3}$, $f(20) \approx 8{,}24 \times 10^{-7}$, $f(50) \approx 1{,}45 \times 10^{-19}$.

La convergence vers $0$ est cette fois très rapide : on bascule en notation scientifique dès $x = 10$, ce qui visualise bien la « domination » de l'exponentielle décroissante sur le polynôme.

Pour conjecturer une limite à droite, saisis des valeurs positives qui tendent vers $0$. Avec $f(x) = \dfrac{1}{x}$, lis $f(0{,}1) = 10$, $f(0{,}01) = 100$, $f(0{,}001) = 1000$. La suite des valeurs explose : on conjecture $\lim\limits_{x \to 0^+} \dfrac{1}{x} = +\infty$. Mais attention, si tu tapes $x = 0$, la NumWorks affiche Indéfini — le tableau ne fait pas la différence entre « limite infinie » et « valeur impossible », c'est à toi de l'interpréter.