Dérivation en Première avec la NumWorks
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Créer un compteCalculer un nombre dérivé avec diff() dans l'application Calculs
L'application Calculs te permet de calculer le nombre dérivé $f'(a)$ d'une fonction en une valeur précise, sans passer par une étude algébrique. C'est utile en Première pour vérifier un calcul fait à la main, explorer le coefficient directeur d'une tangente, ou estimer la dérivée d'une fonction dont l'expression algébrique serait pénible à dériver. La NumWorks renvoie une valeur approchée de $f'(a)$ obtenue par différentiation numérique.
L'instruction utilisée s'appelle diff : on l'écrit sous la forme $\text{diff}(f(x),\ x,\ a)$ et la calculatrice renvoie $f'(a)$. On y accède via la touche toolbox pour ne pas avoir à taper les lettres une par une.
| puis Calculs → OK | Ouvre l'application Calculs |
| toolbox | Ouvre le catalogue des fonctions |
| Analyse → Nombre dérivé → OK | Insère le modèle $\text{diff}(\square, x, \square)$ |
| Saisir l'expression de $f(x)$ dans la première case, l'abscisse $a$ dans la seconde | La lettre $x$ s'obtient avec x,n,t |
| EXE | Affiche la valeur de $f'(a)$ |
Vérifier que la dérivée de f(x) = x² vaut 4 en a = 2
On sait que pour $f(x) = x^2$, la fonction dérivée est $f'(x) = 2x$, donc $f'(2) = 4$. Vérifions ce résultat à la machine. Dans l'application Calculs, ouvre le catalogue avec toolbox, descends sur Analyse → Nombre dérivé → OK puis tape :
x,n,t ^ 2 2 EXE
La calculatrice affiche 4, conforme au calcul théorique.
Détecter une tangente horizontale : f(x) = x³ - 3x + 2 en a = 1
La fonction dérivée est $f'(x) = 3x^2 - 3$, donc $f'(1) = 0$. Un nombre dérivé nul signale une tangente horizontale, donc un candidat extremum local. On le vérifie avec :
$\text{diff}(x^3 - 3x + 2,\ x,\ 1)$ → la NumWorks renvoie 0. Refais le test en $a = -1$ : la calculatrice renvoie aussi $0$. Tu retrouves les deux abscisses où la fonction admet une tangente horizontale, ce qui est cohérent avec le tableau de variations vu en cours.
Coût marginal — un usage du programme de Première
Une entreprise modélise son coût total de production par $C(x) = 0{,}002x^2 + 5x + 200$ (en euros, pour $x$ unités). Le coût marginal à la production de $x = 100$ unités est $C'(100)$. Saisis :
$\text{diff}(0{,}002 \times x^2 + 5x + 200,\ x,\ 100)$ → la NumWorks affiche 5,4. La 101ᵉ unité coûte donc environ $5{,}40$ €, à comparer au coût moyen $C(100)/100 = 7{,}20$ €.
Astuce
Si tu maîtrises bien le clavier alpha, tu peux taper directement $\text{diff}(\ldots)$ sans passer par la boîte à outils — chaque lettre s'obtient avec alpha suivi de la touche correspondante. Mais en contrôle, le passage par toolbox est plus sûr : pas de risque de faute de frappe sur le nom de l'instruction.
Remarque
Le catalogue Analyse propose aussi $\text{diff}(f(x), x, a, n)$, qui calcule la dérivée $n$-ième de $f$ en $a$. C'est hors-programme en Première, mais utile en Terminale pour vérifier $f''(a)$ dans une étude de convexité.
Afficher le nombre dérivé sur le grapheur
L'application Grapheur sait afficher en permanence la valeur de $f'(a)$ dans le bandeau au bas de l'écran, où $a$ est l'abscisse du curseur. C'est une excellente manière de visualiser comment varie le coefficient directeur de la tangente quand on se déplace le long de la courbe : le nombre change en temps réel pendant qu'on bouge avec les flèches, ce qui aide à comprendre le lien entre $f'$ et la pente locale de $f$.
| → Grapheur → OK | Ouvre l'application Grapheur |
| Saisir l'expression de $f$ dans l'onglet Fonctions | Utiliser x,n,t pour la lettre $x$ |
| Onglet Graphique → OK | Ouvre le menu d'options de la courbe |
| Options → Nombre dérivé → OK | Bascule l'interrupteur sur l'état actif |
| Revient à la fenêtre graphique, le bandeau affiche maintenant $f'(x)$ |
Lire f'(2) = 4 pour f(x) = x² sur le grapheur
Saisis $f(x) = x^2$ dans l'onglet Fonctions, puis bascule sur Graphique. Active l'option Nombre dérivé comme ci-dessus. Pour amener le curseur en $x = 2$, tape directement :
2 OK
Le bandeau bas affiche $x = 2$, $f(x) = 4$ et $f'(x) = 4$. Tu peux ensuite te déplacer avec et observer que le nombre dérivé augmente quand $x$ augmente, ce qui correspond à $f'(x) = 2x$ — la pente est de plus en plus forte à droite.
Repérer un extremum sur f(x) = -x² + 4x
Saisis $f(x) = -x^2 + 4x$ et active Nombre dérivé. En te déplaçant avec les flèches, tu vois le bandeau passer du positif au négatif autour de $x = 2$ : c'est le signe que $f'$ s'annule là, donc que $f$ admet un maximum en $x = 2$. Tape 2 OK : le bandeau confirme $f'(2) = 0$ et $f(2) = 4$.
Astuce
Plutôt que de naviguer point par point avec les flèches, tape directement la valeur de $x$ qui t'intéresse au clavier puis OK : la NumWorks place instantanément le curseur sur l'abscisse demandée. Indispensable pour aller chercher $f'(0{,}5)$ ou $f'(\pi)$ sans s'épuiser sur les flèches.
Tracer la tangente en un point
La NumWorks sait également tracer la tangente à la courbe en n'importe quel point et afficher son équation réduite $y = mx + p$. C'est l'outil parfait pour vérifier un calcul de tangente fait à la main : si tu obtiens à la main $y = 2x - 1$ et que la calculatrice affiche la même chose, ton calcul est juste. Et inversement, l'équation lue à l'écran te donne immédiatement le coefficient directeur (le nombre dérivé) et l'ordonnée à l'origine.
| Onglet Graphique avec la fonction tracée, curseur sur la courbe | |
| OK | Ouvre le menu d'options de la courbe |
| Rechercher → OK | Ouvre le menu Rechercher |
| Tangente → OK | Active le mode tangente |
| Taper la valeur de l'abscisse $a$ → OK | Trace la tangente en $x = a$ et affiche son équation |
| Déplacent la tangente en faisant varier $a$ |
Tangente à f(x) = x² en x = 1
Avec $f(x) = x^2$ saisie dans le grapheur, bascule sur Graphique, appuie sur OK → Rechercher → Tangente. Tape :
1 OK
La NumWorks trace la droite tangente et le bandeau affiche $y = 2x - 1$. Vérification à la main : $f'(1) = 2 \times 1 = 2$ (coefficient directeur), et $f(1) = 1$ donne $1 = 2 \times 1 + p$, soit $p = -1$. L'équation est bien $y = 2x - 1$.
Tangente horizontale au sommet de f(x) = -x² + 4x
Avec $f(x) = -x^2 + 4x$, demande la tangente en $x = 2$ : la NumWorks affiche $y = 4$. La tangente est horizontale (pente nulle), ce qui confirme graphiquement que $f$ admet un maximum en $x = 2$, avec $f(2) = 4$. Avance ensuite la tangente avec : elle s'incline vers le bas car $f'$ devient négatif au-delà de $2$.
Attention
Les coefficients affichés dans le bandeau sont parfois des arrondis décimaux. Pour la tangente à $f(x) = \dfrac{1}{x}$ en $x = 3$, la NumWorks affichera quelque chose comme $y = -0{,}1111x + 0{,}6667$ alors que l'équation exacte est $y = -\dfrac{x}{9} + \dfrac{2}{3}$. Si on te demande l'équation exacte dans un contrôle, ne recopie pas tel quel l'affichage : reprends le calcul à la main avec $f'(a)$ et $f(a)$.
Astuce
Une fois la tangente tracée, tu peux la déplacer avec les flèches gauche/droite : la NumWorks recalcule en direct la nouvelle équation. C'est très visuel pour conjecturer le sens de variation : tant que la pente affichée est positive, $f$ croît ; quand elle devient négative, $f$ décroît ; le passage à $0$ correspond à un extremum.
Afficher la colonne de la fonction dérivée dans le tableau
L'onglet Tableau de l'application Grapheur peut afficher, à côté de la colonne $f(x)$, une colonne supplémentaire avec les valeurs de $\mathbf{f'(x)}$. C'est très efficace pour conjecturer le signe de $f'$ (et donc les variations de $f$) sur un intervalle donné : on lit la suite de valeurs et on repère facilement où la dérivée change de signe.
| Onglet Tableau avec la fonction déjà saisie dans Fonctions | |
| Sélectionner le nom de la fonction (par exemple $f$) en haut de sa colonne | |
| OK | Ouvre les options de la colonne |
| Colonne de la fonction dérivée → OK | Active l'affichage de $f'$ |
| Revient au tableau, la colonne $f'(x)$ apparaît à droite de $f(x)$ |
Variations de f(x) = x³ - 3x + 2 de -2 à 2
Saisis $f(x) = x^3 - 3x + 2$ dans le grapheur. Va dans l'onglet Tableau, règle l'intervalle de $-2$ à $2$ avec un pas de $0{,}5$, puis active Colonne de la fonction dérivée sur $f$. Le tableau affiche :
| $x = -2$ | $f(x) = 0$ | $f'(x) = 9$ |
| $x = -1$ | $f(x) = 4$ | $f'(x) = 0$ |
| $x = 0$ | $f(x) = 2$ | $f'(x) = -3$ |
| $x = 1$ | $f(x) = 0$ | $f'(x) = 0$ |
| $x = 2$ | $f(x) = 4$ | $f'(x) = 9$ |
On lit immédiatement que $f'$ s'annule en $-1$ et $1$, qu'elle est positive sur $[-2\ ;\ -1]$ et $[1\ ;\ 2]$, négative sur $[-1\ ;\ 1]$ : $f$ est donc croissante puis décroissante puis croissante. Les valeurs $f(-1) = 4$ et $f(1) = 0$ se lisent au passage — maximum local en $-1$, minimum local en $1$.
![Tableau de f(x)=x³-3x+2 avec colonne f'(x) sur l'intervalle [-2;2] pas 0,5](/assets/img/tuto-numworks-derivee-premiere/04-tableau-derivee.png)
Astuce
Pour masquer à nouveau la colonne $f'$, tu refais la même manipulation : sélectionne le nom $f'$ en haut de sa colonne, OK, puis désactive l'option. Pratique quand tu veux comparer plusieurs fonctions sans encombrer l'écran.
Attention
Cette colonne donne des valeurs numériques de $f'(x)$, pas son expression algébrique. Si l'énoncé demande « calculer $f'(x)$ », la NumWorks ne te dispense pas de la dérivation à la main : le tableau et l'option Nombre dérivé servent à vérifier tes résultats, pas à les remplacer.