Probabilités et loi binomiale en Première avec la NumWorks

Au loto classique, le joueur coche $5$ numéros parmi $49$. Le nombre total de grilles différentes est $\binom{49}{5}$. Plutôt que de développer $\dfrac{49!}{5! \times 44!}$ à la main, tape directement dans l'application Calculs :

$\text{binomial}(49,\ 5)$ → la NumWorks affiche 1 906 884. Il y a donc près de deux millions de grilles possibles, ce qui explique pourquoi la probabilité de gagner est si faible.

Le nombre de comités distincts est $\binom{30}{3}$. Saisis $\text{binomial}(30,\ 3)$ : la calculatrice renvoie 4 060. Si l'ordre d'élection comptait (président, trésorier, secrétaire), il faudrait utiliser à la place $\text{permute}(30,3)$ qui donne $24\,360$ — un facteur $3! = 6$ de plus, ce qui correspond bien à la règle $A_n^k = k! \times \binom{n}{k}$.

Tu lances $10$ fois une pièce équilibrée et tu notes $X$ le nombre de piles obtenus. Alors $X$ suit la loi $\mathcal{B}(10;\,0{,}5)$. Dans l'étape 2, saisis $n = 10$ puis $p = 0{,}5$, et valide. Le diagramme en bâtons de la loi apparaît : tu vois déjà que les valeurs les plus probables sont autour de $5$ (l'espérance $np = 5$), et que les valeurs extrêmes $0$ ou $10$ sont quasi impossibles.

Avec $n = 10$ et $p = 0{,}5$ déjà saisis, tu peux enchaîner les trois calculs suivants sans relancer l'application :

On retrouve trois ordres de grandeur typiques : obtenir exactement $7$ piles sur $10$ est possible (environ $11{,}7\%$), en obtenir au plus $3$ est rare (environ $17{,}2\%$), mais rester dans la fourchette $[3;7]$ autour de l'espérance est quasi certain (environ $89{,}1\%$).

Toujours pour $X \sim \mathcal{B}(10;\,0{,}5)$, tape les trois lignes :

$\text{binompdf}(7,\ 10,\ 0.5)$ → 0,1171875, soit $P(X=7)$.

$\text{binomcdf}(3,\ 10,\ 0.5)$ → 0,171875, soit $P(X \leqslant 3)$.

$\text{binomcdf}(7,\ 10,\ 0.5) - \text{binomcdf}(2,\ 10,\ 0.5)$ → 0,890625, soit $P(3 \leqslant X \leqslant 7)$ (astuce : $P(a \leqslant X \leqslant b) = P(X \leqslant b) - P(X \leqslant a - 1)$).

Les valeurs coïncident exactement avec celles de l'application Probabilités : c'est le même calcul, présenté autrement.

Une chaîne de production livre des pièces avec une probabilité $p = 0{,}02$ qu'une pièce soit défectueuse. On prélève $n = 50$ pièces au hasard et on note $X$ le nombre de défectueuses. Alors $X \sim \mathcal{B}(50;\,0{,}02)$. Probabilité d'en trouver au moins une ?

$P(X \geqslant 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - \text{binompdf}(0,\ 50,\ 0.02)$ → la NumWorks renvoie 0,6358…. Autrement dit, il y a environ $64\%$ de chances qu'un lot de $50$ pièces contienne au moins un défaut : c'est plus d'une fois sur deux, ce qui justifie un contrôle qualité régulier.

On lance $20$ fois une pièce équilibrée. Quelle est la plus petite valeur $k$ telle que $P(X \leqslant k) \geqslant 0{,}95$ ? Saisis $\text{invbinom}(0.95,\ 20,\ 0.5)$ : la calculatrice répond 14.

Vérification : $\text{binomcdf}(13,\ 20,\ 0.5) \approx 0{,}9423 < 0{,}95$, mais $\text{binomcdf}(14,\ 20,\ 0.5) \approx 0{,}9793 \geqslant 0{,}95$. C'est bien $k = 14$ le plus petit qui fait basculer la probabilité au-dessus du seuil. Autrement dit, dans $95\%$ des séries de $20$ lancers, on obtient au plus $14$ piles.

Pour encadrer $X$ entre deux bornes qui laissent $5\%$ de risque au total ($2{,}5\%$ de chaque côté), on cherche $a$ et $b$ tels que $P(X \leqslant a) \geqslant 0{,}025$ et $P(X \leqslant b) \geqslant 0{,}975$. Saisis :

$\text{invbinom}(0.025,\ 20,\ 0.5)$ → 6.

$\text{invbinom}(0.975,\ 20,\ 0.5)$ → 14.

L'intervalle $[6\,;\,14]$ contient donc $X$ avec une probabilité d'au moins $95\%$. Tu peux le confirmer avec $\text{binomcdf}(14,\ 20,\ 0.5) - \text{binomcdf}(5,\ 20,\ 0.5) \approx 0{,}9586 \geqslant 0{,}95$.