Probabilités en Terminale avec la NumWorks

Loi binomiale avec un grand nombre de répétitions

En Première, tu as appris à utiliser l'application Probabilités de la NumWorks pour calculer $P(X = k)$ et $P(X \leqslant k)$ avec une loi binomiale $\mathcal{B}(n,\,p)$. En Terminale, les exercices utilisent presque toujours des grandes valeurs de $n$ : sondages sur $1\,000$ personnes, contrôles qualité sur $500$ pièces, séries de $200$ lancers… L'app Probabilités gère sans broncher ces ordres de grandeur, et c'est elle qu'il faut sortir en priorité dès qu'un énoncé donne explicitement les paramètres $(n,\,p)$.

Pour ouvrir l'application, appuie sur , déplace-toi sur la vignette Probabilités avec les flèches, valide avec OK, puis choisis la loi binomiale dans la liste des lois discrètes.

Calculer rapidement l'espérance et l'écart-type

Dès qu'on travaille sur une variable aléatoire $X \sim \mathcal{B}(n,\,p)$, deux indicateurs se calculent à la main : l'espérance $E(X) = np$ et la variance $V(X) = np(1-p)$, dont on déduit l'écart-type $\sigma(X) = \sqrt{np(1-p)}$. Plutôt que de les recalculer mentalement à chaque exercice, gagne du temps en les tapant directement dans l'application Calculs : la calculatrice te donne la valeur exacte ou approchée à la précision voulue.

Simuler la loi des grands nombres en Python

L'inégalité de concentration affirme que la moyenne empirique $M_n = \dfrac{X_1 + X_2 + \dots + X_n}{n}$ d'un échantillon de variables indépendantes de même loi se rapproche de l'espérance $E(X)$ quand $n$ devient grand. C'est la loi des grands nombres. Pour l'observer sur la calculatrice, le plus simple est d'écrire un script Python court qui simule un grand échantillon et calcule sa moyenne.

Crée un script nommé lgn depuis l'application Python ( → Python → Ajouter un script → taper lgn en mode alpha verrouillé). Ouvre-le et saisis :

from random import random

def moyenne(n):
    s = 0
    for k in range(n):
        if random() < 0.5:
            s = s + 1
    return s / n

La fonction moyenne(n) simule $n$ tirages d'une pièce équilibrée (codés $1$ pour pile, $0$ pour face) et renvoie la fréquence de piles obtenue. C'est une réalisation de $M_n$ pour la variable de Bernoulli $X$ de paramètre $0{,}5$.

Tester l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev

L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev majore la probabilité que $X$ s'éloigne de son espérance de plus de $\delta$ :

C'est une majoration grossière : elle est toujours vraie, mais souvent très en-dessous de la borne donnée. Une simulation Python permet de vérifier l'inégalité en comparant la fréquence empirique de l'événement $|X - E(X)| \geqslant \delta$ à la borne théorique. Crée un script bt et saisis :

from random import random

def frequence(n, p, delta, N):
    nb = 0
    for k in range(N):
        s = 0
        for i in range(n):
            if random() < p:
                s = s + 1
        if abs(s - n*p) >= delta:
            nb = nb + 1
    return nb / N

La fonction simule $N$ réalisations indépendantes de $X \sim \mathcal{B}(n, p)$ et compte la proportion de cas pour lesquels $|X - np| \geqslant \delta$. C'est une estimation de $P(|X - E(X)| \geqslant \delta)$ par la fréquence observée — on retombe sur la loi des grands nombres, appliquée cette fois à l'événement.