Application Régressions en Première
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L'application Régressions est l'outil dédié au chapitre Statistiques à deux variables du programme de Première : on l'utilise dès qu'on étudie le lien entre deux séries de mesures (taille / poids, heures de révision / note, année / chiffre d'affaires…). Elle permet de saisir un nuage de points, de calculer la droite des moindres carrés, de lire le coefficient de corrélation $r$ et de prédire une valeur — toutes opérations qui prendraient plusieurs minutes à la main.
À ne pas confondre avec l'application Statistiques (séries à une variable, moyenne / médiane / boîte à moustaches). Pour la lancer, appuie sur , déplace la sélection sur la vignette Régressions avec les flèches, puis valide avec OK.
Remarque
CAPTURE À GÉNÉRER — Écran d'accueil NumWorks avec la vignette Régressions sélectionnée (halo bleu).
Touches :
Au lancement, l'onglet Données présente un tableau à deux colonnes : X1 (première variable, l'abscisse de chaque point) et Y1 (seconde variable, l'ordonnée). Comme dans l'application Statistiques, tu peux stocker jusqu'à trois séries simultanément ($X_1/Y_1$, $X_2/Y_2$, $X_3/Y_3$) — pratique pour comparer deux ajustements.
Saisir une série à deux variables
Chaque ligne du tableau correspond à un point $(x_i\ ;\ y_i)$. Place la sélection sur la première cellule de la colonne X1, tape la valeur, valide avec EXE. La sélection descend automatiquement à la ligne suivante. Pour passer de la colonne X1 à la colonne Y1, utilise la flèche .
Heures de révision et note obtenue
Pour un devoir de mathématiques, on relève auprès de cinq élèves le nombre d'heures de révision et la note finale sur 20 :
| $X_1 = 1$ | $Y_1 = 7$ |
| $X_1 = 2$ | $Y_1 = 9$ |
| $X_1 = 3$ | $Y_1 = 12$ |
| $X_1 = 4$ | $Y_1 = 13$ |
| $X_1 = 5$ | $Y_1 = 14$ |
Saisie ligne par ligne : tape 1 EXE dans X1, puis pour passer à Y1, 7 EXE. Reviens ensuite sur X1 avec , descends d'une ligne avec , et continue.
Remarque
CAPTURE À GÉNÉRER — Onglet Données avec la série complète saisie : X1 = 1, 2, 3, 4, 5 et Y1 = 7, 9, 12, 13, 14.
Touches : saisie alternée X1/Y1 avec EXE et
Astuce
Erreur de frappe sur une valeur ? Sélectionne la cellule avec les flèches, retape le bon nombre puis EXE : la cellule est écrasée. Pour supprimer une ligne entière, place la sélection sur l'une de ses cases et appuie sur . Pour vider toute la colonne, sélectionne le nom X1 tout en haut puis .
Attention
Les deux colonnes doivent avoir exactement le même nombre de lignes : si tu saisis six valeurs dans X1 et seulement cinq dans Y1, la dernière abscisse sera ignorée et la régression portera sur cinq points seulement. Vérifie toujours visuellement les hauteurs des deux colonnes avant de passer à l'onglet Graphique.
Tracer le nuage de points et lire le coefficient r
Une fois la série saisie, remonte avec jusqu'à la barre d'onglets, sélectionne Graphique avec , puis valide avec OK. La NumWorks affiche directement le nuage de points $(x_i\ ;\ y_i)$, et — point essentiel pour la Première — le coefficient de corrélation linéaire $r$ s'affiche en bas de l'écran dès que tu déplaces le curseur.
| Déplacent le curseur de point en point | |
| Le bandeau bas affiche $X = x_i$, $Y = y_i$ et la valeur de $r$ | |
| + - | Zoom / dézoom sur la zone du curseur |
Lire r pour la série révisions / note
Sur le nuage des cinq points $(1\,;\,7)$, $(2\,;\,9)$, $(3\,;\,12)$, $(4\,;\,13)$, $(5\,;\,14)$, le bandeau bas indique $r \approx 0{,}976$. Cette valeur, très proche de $1$, confirme que les points sont quasiment alignés et qu'un ajustement affine est pertinent.
Remarque
CAPTURE À GÉNÉRER — Onglet Graphique affichant le nuage des cinq points avec un point sélectionné et le bandeau bas indiquant $X$, $Y$ et $r \approx 0{,}976$.
Touches : onglet Graphique → OK
Remarque
Plus $|r|$ est proche de $1$, plus le lien linéaire entre $X$ et $Y$ est fort. À l'inverse, $r$ proche de $0$ indique une absence de lien linéaire — sans pour autant prouver l'absence de lien (il pourrait être quadratique, exponentiel…). C'est un indicateur, pas une preuve.
Ajuster la droite des moindres carrés
Avoir un bon $r$ est une chose, obtenir l'équation de la droite d'ajustement en est une autre. C'est l'objet du menu Régression, accessible depuis l'onglet Graphique.
| Depuis l'onglet Graphique, appuie sur OK pour ouvrir la liste des modèles | |
| Linéaire | Sélectionne ce modèle (le premier de la liste) puis OK |
| La droite d'équation $y = ax + b$ s'affiche par-dessus le nuage | |
| Le menu Régression sous la barre d'onglets donne accès à l'équation et au coefficient $r^2$ |
Équation de la droite pour la série révisions / note
Une fois le modèle Linéaire sélectionné, la NumWorks calcule par la méthode des moindres carrés :
$$y \approx 1{,}8\,x + 5{,}6 \qquad \text{avec} \qquad r^2 \approx 0{,}953$$
Vérification à la main : la moyenne des $x$ vaut $\bar{x} = 3$, celle des $y$ vaut $\bar{y} = 11$. Le coefficient directeur $a = \dfrac{\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sum (x_i - \bar{x})^2} = \dfrac{18}{10} = 1{,}8$, puis $b = \bar{y} - a\bar{x} = 11 - 1{,}8 \times 3 = 5{,}6$. La calculatrice confirme exactement le calcul théorique.
Remarque
CAPTURE À GÉNÉRER — Onglet Graphique avec la droite des moindres carrés tracée par-dessus le nuage et le menu Régression ouvert sous la barre d'onglets affichant $y = 1{,}8\,x + 5{,}6$ et $r^2 \approx 0{,}953$.
Touches : onglet Graphique → OK → Linéaire → OK
Attention
La NumWorks utilise la convention $y = ax + b$ ($a$ = coefficient directeur, $b$ = ordonnée à l'origine). Certains manuels notent l'équation $y = mx + p$ ou $y = \alpha x + \beta$ : ne change pas les valeurs, seulement les noms. Vérifie toujours quelle convention ton énoncé attend avant de recopier.
Prédire une valeur (sachant X ou sachant Y)
Une fois la droite ajustée, la NumWorks sait calculer en un clic l'image $y$ d'un $x$ donné — ou réciproquement — sans qu'on ait à faire le calcul $1{,}8\,x + 5{,}6$ à la main. Cette fonction se trouve dans le menu Régression sous la barre d'onglets.
| Depuis l'onglet Graphique, remonte avec sur la barre Régression | |
| Sélectionne Prédiction sachant X puis OK | |
| Tape la valeur de $x$ avec le pavé numérique | |
| Sélectionne Valider puis OK | |
| Le curseur saute au point correspondant et le bandeau bas affiche les coordonnées |
Estimation de la note pour 8 heures de révision
Sur la droite $y = 1{,}8\,x + 5{,}6$, on souhaite estimer la note d'un élève qui réviserait $8$ h. Menu Régression → Prédiction sachant X → tape 8, sélectionne Valider et OK.
Le bandeau affiche $X = 8$, $Y = 20$. Vérification : $1{,}8 \times 8 + 5{,}6 = 14{,}4 + 5{,}6 = 20$. La calculatrice confirme.
Combien d'heures pour viser un 18 ?
Question inverse : quelle durée de révision serait associée à une note de $18$ ? Menu Régression → Prédiction sachant Y → tape 1 8 → Valider → OK.
Le bandeau affiche $Y = 18$, $X \approx 6{,}89$. Soit environ $6$ h $53$ min de révision. À la main : $x = \dfrac{18 - 5{,}6}{1{,}8} = \dfrac{12{,}4}{1{,}8} \approx 6{,}89$.
Remarque
CAPTURE À GÉNÉRER — Menu Régression avec Prédiction sachant X sélectionné et la valeur $X = 8$ entrée, prête à être validée.
Touches : (depuis Graphique) → Prédiction sachant X → OK → 8 → Valider
Attention
La prédiction n'a de sens que à l'intérieur de l'intervalle des données saisies (ici $1 \leq x \leq 5$). Au-delà, on parle d'extrapolation : la NumWorks calcule sans broncher, mais rien ne garantit que la tendance affine reste vraie. Pour une note à 8 h de révision, on est déjà hors des données — à utiliser avec prudence dans une rédaction.
Lire les indicateurs dans l'onglet Stats
L'onglet Stats regroupe tous les calculs intermédiaires que la NumWorks a faits pour ajuster la droite. C'est précieux quand un exercice te demande explicitement la moyenne des $x$, la covariance, ou les coefficients $a$ et $b$ par leur formule.
Remonte avec jusqu'à la barre d'onglets, déplace la sélection avec jusqu'à Stats, valide avec OK.
| Moyenne des $x_i$ / des $y_i$ | $\bar{x}$ et $\bar{y}$ — coordonnées du point moyen $G(\bar{x}\,;\,\bar{y})$ |
| Écart-type des $x_i$ / des $y_i$ | $\sigma_x$ et $\sigma_y$ — dispersion de chaque variable |
| Covariance | $\mathrm{cov}(x,y)$ — mesure le sens du lien (positif si $x$ et $y$ varient ensemble) |
| Coefficients $a$ et $b$ | Pente et ordonnée à l'origine de la droite des moindres carrés |
| Coefficient de corrélation $r$ | Toujours entre $-1$ et $1$ |
| Coefficient de détermination $r^2$ | Toujours entre $0$ et $1$ ; quantifie la part de variance expliquée |
Vérifier le point moyen sur la série révisions / note
L'onglet Stats affiche $\bar{x} = 3$ et $\bar{y} = 11$, donc $G(3\,;\,11)$. La droite de régression doit passer par ce point : on vérifie en remplaçant dans l'équation, $1{,}8 \times 3 + 5{,}6 = 5{,}4 + 5{,}6 = 11$. C'est une propriété générale (et un excellent moyen de détecter une erreur de saisie : si $G$ n'est pas sur la droite, refais le calcul).
Remarque
CAPTURE À GÉNÉRER — Onglet Stats affichant $\bar{x}$, $\bar{y}$, $\sigma_x$, $\sigma_y$, $\mathrm{cov}(x,y)$, $a$, $b$, $r$, $r^2$ pour la série révisions / note.
Touches : barre d'onglets → Stats → OK
Vérifier la qualité avec le graphique des résidus
Le coefficient $r$ proche de $1$ est un bon indice, mais il ne montre pas comment les points s'écartent de la droite. Pour ça, la NumWorks propose le graphique des résidus : pour chaque point, elle calcule l'écart $e_i = y_i - (a x_i + b)$ entre l'observation et la prédiction, et les affiche en fonction de $x_i$.
Cet outil est uniquement disponible pour le modèle linéaire. Si les résidus sont répartis aléatoirement autour de zéro, l'ajustement affine est cohérent. S'ils dessinent au contraire une courbe (en U, en arche…), c'est qu'un autre modèle conviendrait mieux.
| Depuis l'onglet Graphique avec la régression linéaire active, remonte sur la barre Régression avec | |
| Graphique des résidus | Sélectionne cette ligne puis OK |
| Les résidus apparaissent comme un nouveau nuage centré sur l'axe $y = 0$ | |
| Revient au nuage initial |
Remarque
CAPTURE À GÉNÉRER — Graphique des résidus pour la série révisions / note : cinq points répartis de part et d'autre de l'axe horizontal $y = 0$, sans tendance apparente.
Touches : (depuis Graphique avec modèle linéaire) → Graphique des résidus → OK
Astuce
Si tu vois les résidus former une parabole (négatifs aux bords, positifs au centre, ou l'inverse), c'est un signe fort que le phénomène est quadratique et non linéaire. Change le modèle (voir section suivante) et compare les nouveaux résidus.
Quand le modèle linéaire ne convient pas
Tous les phénomènes ne sont pas linéaires. Une population de bactéries, une décharge de condensateur, une réaction chimique — autant de situations où le nuage dessine une courbe, pas une droite. La NumWorks propose onze modèles différents (Linéaire, Quadratique, Cubique, Exponentielle, Puissance, Logarithmique, Logistique, Trigonométrique…), accessibles via le même menu Régression.
Croissance d'une culture de bactéries
On mesure le nombre de bactéries (en milliers) toutes les heures pendant 6 h :
| $X_1 = 0$ | $Y_1 = 100$ |
| $X_1 = 1$ | $Y_1 = 150$ |
| $X_1 = 2$ | $Y_1 = 230$ |
| $X_1 = 3$ | $Y_1 = 350$ |
| $X_1 = 4$ | $Y_1 = 530$ |
| $X_1 = 5$ | $Y_1 = 800$ |
Avec le modèle Linéaire, on obtient $r^2 \approx 0{,}93$ — pas mauvais, mais les résidus dessinent clairement une parabole : le linéaire sous-estime les valeurs aux deux extrémités.
Change le modèle : menu Régression → Modèle → OK → Exponentielle. La calculatrice ajuste $y \approx 100 \times 1{,}51^{x}$ avec $r^2 \approx 1$ : ajustement quasi-parfait. C'est ce modèle qu'il faut retenir.
Remarque
CAPTURE À GÉNÉRER — Onglet Graphique avec le modèle Exponentielle sélectionné : courbe exponentielle qui passe par tous les points du nuage des bactéries et menu Régression affichant $y \approx 100 \times 1{,}51^{x}$, $r^2 \approx 1$.
Touches : menu Régression → Modèle → OK → Exponentielle → OK
Attention
Le programme de Première Spé n'exige que la régression linéaire (méthode des moindres carrés). Les autres modèles peuvent être utiles en SVT, en physique ou en projet personnel, mais évite de les utiliser en contrôle de mathématiques sans consigne explicite : justifie toujours le choix d'un ajustement affine par la disposition rectiligne du nuage et par $|r|$ proche de $1$.
Astuce
Pour basculer rapidement entre deux modèles (linéaire vs exponentiel par exemple) sans perdre tes données, garde les valeurs dans $X_1/Y_1$ et change uniquement le modèle dans le menu Régression. Compare les $r^2$ et l'allure des résidus : c'est la démarche standard d'un statisticien pour choisir le bon modèle.