Application Suites en Première
Créez un compte gratuit pour suivre votre avancement et reprendre où vous avez laissé.
Créer un compteDécouvrir l'application Suites
L'application Suites est l'outil clé du chapitre sur les suites en Première : elle permet de saisir une suite (explicite ou par récurrence), de tracer son nuage de points, de lire ses premiers termes dans un tableau, de calculer une somme de termes consécutifs, et même d'observer la convergence d'une suite récurrente avec le graphique en escalier. On y accède depuis en sélectionnant la vignette Suites avec les flèches et en validant par OK.
Au premier lancement, l'onglet Suites est vide et propose une seule cellule Ajouter une suite. Tu peux y entrer jusqu'à trois suites simultanément, ce qui sera utile pour comparer une suite arithmétique et une suite géométrique sur un même graphique.
Saisir une suite définie explicitement
Une suite définie explicitement s'écrit sous la forme $u_n = f(n)$ : chaque terme est donné directement en fonction de son indice $n$. C'est le cas le plus simple — typiquement une suite arithmétique $u_n = u_0 + nr$ ou une suite géométrique $u_n = u_0 \cdot q^{n}$ dont on connaît la formule fermée.
Pour saisir ce type de suite, place la sélection sur Ajouter une suite, appuie sur OK et choisis Explicite. La barre d'édition s'ouvre alors en bas de l'écran : tu y tapes l'expression de $u_n$ en utilisant la touche x,n,t pour produire la lettre $n$.
Suite arithmétique
On veut saisir la suite définie par $u_n = 2n + 3$. Une fois sur Ajouter une suite → OK → Explicite, tape :
2 x,n,t + 3 OK
L'expression $u(n) = 2n + 3$ apparaît dans la liste. C'est la suite arithmétique de premier terme $u_0 = 3$ et de raison $r = 2$. Tu peux ensuite sélectionner Tracer le graphique au bas de l'écran puis OK : la NumWorks affiche le nuage de points $(n\ ;\ u_n)$ — et non une courbe continue, ce qui est cohérent avec la définition d'une suite (fonction de $\mathbb{N}$ dans $\mathbb{R}$).
Suite géométrique
On veut saisir la suite définie par $u_n = 2 \times 3^{n}$. Reviens à l'onglet Suites, sélectionne à nouveau Ajouter une suite → Explicite et tape :
2 × 3 ^ x,n,t OK
L'expression $v(n) = 2 \times 3^{n}$ apparaît : c'est la suite géométrique de premier terme $v_0 = 2$ et de raison $q = 3$. La NumWorks affecte automatiquement une couleur différente à chaque suite, ce qui permet de comparer la croissance linéaire de $u$ et la croissance exponentielle de $v$ sur le même nuage.
Remarque
La NumWorks utilise par défaut $u_0$ comme premier terme. Si ton énoncé travaille avec $u_1$ comme premier terme (notation fréquente dans les exercices de Première), il faudra modifier l'indice du premier terme — voir la section Suite définie par récurrence ci-dessous.
Saisir une suite définie par récurrence
Une suite définie par récurrence s'écrit sous la forme $u_{n+1} = f(u_n)$ avec un premier terme imposé. C'est typique des situations de croissance par étape : population multipliée par un coefficient à chaque période, capital placé à intérêts composés, ou modèle d'évolution discret. Sur la NumWorks, ce type de suite a son propre éditeur, différent de celui des suites explicites.
Pour la saisir, place la sélection sur Ajouter une suite → OK → Récurrente d'ordre 1. La barre d'édition affiche $u(n+1) =$ et attend une expression dépendant de $u(n)$. Le moyen le plus simple d'obtenir le terme $u(n)$ est d'utiliser la Boîte à outils (touche toolbox), qui propose les raccourcis $u(n)$ et $u(n+1)$ tout prêts.
Suite récurrente
On veut étudier la suite définie par $u_{n+1} = 0{,}5\,u_n + 1$ et $u_0 = 0$. Sur Ajouter une suite → Récurrente d'ordre 1, tape :
0 . 5 toolbox (sélectionne u(n)) + 1 OK
L'expression $u(n+1) = 0{,}5\,u(n) + 1$ apparaît dans la liste, suivie d'une ligne $u(0) =$ qu'il faut renseigner. Sélectionne cette ligne, tape 0 OK. La suite est maintenant complètement définie.
Tu peux vérifier à la main les premiers termes : $u_0 = 0$, $u_1 = 0{,}5 \times 0 + 1 = 1$, $u_2 = 0{,}5 \times 1 + 1 = 1{,}5$, $u_3 = 1{,}75$, $u_4 = 1{,}875$. Les termes se rapprochent de $2$ — on dit que la suite converge vers $2$.
Remarque
CAPTURE À GÉNÉRER — Onglet Suites avec la suite récurrente $u(n+1) = 0{,}5\,u(n) + 1$ saisie et la ligne $u(0) = 0$ renseignée juste en dessous.
Touches : → Suites → OK → Ajouter une suite → Récurrente d'ordre 1 → 0 . 5 toolbox u(n) + 1 OK → renseigner $u(0) = 0$
Astuce
Plutôt que d'aller chercher u(n) dans la Boîte à outils, tu peux taper directement les caractères : alpha u ( x,n,t ). C'est plus rapide quand tu maîtrises le clavier alpha — mais la Boîte à outils reste la valeur sûre en contrôle pour ne pas te tromper.
| Sélectionne le nom de la suite (par exemple $u$) dans la liste. | |
| OK | Ouvre le menu d'options de la suite |
| Indice premier terme | Sélectionne cette ligne et tape la nouvelle valeur, par exemple 1 |
| OK puis | Valide et revient à l'onglet Suites |
Attention
Quand tu changes le type d'une suite (de Explicite à Récurrente par exemple), la NumWorks efface l'expression précédente sans confirmation. Si tu veux juste corriger une faute de frappe, ne touche pas au type : sélectionne directement l'expression et appuie sur pour effacer caractère par caractère.
Tracer et lire des termes sur le graphique
Une fois ta suite saisie, sélectionne Tracer le graphique au bas de l'onglet Suites (ou bascule directement sur l'onglet Graphique en haut). La NumWorks affiche un nuage de points : chaque point a pour coordonnées $(n\ ;\ u_n)$.
| Déplacent le curseur de point en point (de $u_n$ à $u_{n+1}$) | |
| Basculent d'une suite à une autre, si plusieurs sont tracées | |
| Taper directement un nombre | Amène le curseur sur le point d'indice $n$ choisi (par exemple 1 0 OK pour aller à $u_{10}$) |
| + - | Zooment / dézooment sur la zone du curseur |
Lire un terme sur le graphique
On veut lire $u_{10}$ pour la suite arithmétique $u_n = 2n + 3$. Sur l'onglet Graphique, assure-toi que le curseur est bien sur la suite $u$ (sinon, utilise ou pour y revenir). Tape :
1 0 OK
Le curseur saute sur le point d'indice $10$ et le bandeau bas affiche $n = 10\ ;\ u(n) = 23$. Tu lis donc $u_{10} = 23$, ce que tu peux vérifier à la main : $2 \times 10 + 3 = 23$.
Astuce
Si la fenêtre est mal cadrée (la suite sort de l'écran ou les points sont écrasés en bas), bascule sur l'option Auto sous l'onglet Graphique : la NumWorks recalcule $X_{\min}, X_{\max}, Y_{\min}, Y_{\max}$ pour faire apparaître les points significatifs. Pour une suite géométrique de raison $> 1$, c'est presque indispensable — sinon les premiers termes sont écrasés contre l'axe des abscisses.
Tableau de valeurs
L'onglet Tableau complète le graphique en donnant une vue numérique de la suite : on lit directement $u_0, u_1, u_2, \ldots$ dans une colonne. C'est la méthode la plus rapide pour conjecturer le sens de variation d'une suite ou son comportement asymptotique.
Tableau des 10 premiers termes
On veut afficher les 10 premiers termes de la suite définie par $u_{n+1} = 0{,}5\,u_n + 1$ et $u_0 = 0$. Depuis l'onglet Tableau (avec la suite récurrente déjà saisie), sélectionne Régler l'intervalle au-dessus du tableau puis OK. Renseigne :
N début $= 0$, N fin $= 10$, Pas $= 1$
puis Valider + OK. Tu lis : $u_0 = 0$, $u_1 = 1$, $u_2 = 1{,}5$, $u_3 = 1{,}75$, $u_4 = 1{,}875$, $u_5 = 1{,}9375$… jusqu'à $u_{10} \approx 1{,}999$. La suite semble bien croissante et converger vers $2$ : le tableau permet de conjecturer ce résultat avant de le démontrer.
Remarque
CAPTURE À GÉNÉRER — Onglet Tableau affichant les 11 premiers termes de la suite récurrente $u_{n+1} = 0{,}5\,u_n + 1$ avec $u_0 = 0$ ; les valeurs s'approchent visiblement de 2.
Touches : onglet Tableau → Régler l'intervalle → OK → N début $= 0$, fin $= 10$, pas $= 1$ → Valider → OK
Astuce
Tu peux aussi saisir toi-même des valeurs de $n$ dans la première colonne : place la sélection sur une case, tape le nombre puis OK. Pratique pour aller chercher directement $u_{50}$ ou $u_{100}$ sans modifier l'intervalle régulier — utile pour tester si une suite a déjà dépassé un seuil donné dans un exercice de seuil.
Calculer la somme des termes consécutifs
En Première, tu rencontres souvent des sommes du type $S = u_0 + u_1 + \ldots + u_n$, en particulier pour les suites arithmétiques et géométriques. La NumWorks calcule cette somme directement depuis le graphique, sans avoir à programmer ni à utiliser le menu Calculs.
| Place le curseur sur la suite voulue dans l'onglet Graphique | |
| OK | Ouvre le menu d'options de la suite |
| Somme des termes | Sélectionne cette ligne et valide |
| Premier terme | Tape l'indice de départ (ou navigue avec les flèches), OK |
| Dernier terme | Tape l'indice de fin, OK |
| La somme s'affiche dans le bandeau au bas de l'écran |
Somme d'une suite arithmétique
On veut calculer la somme $\sum_{k=0}^{10} u_k$ pour la suite $u_n = 2n + 3$. Sur l'onglet Graphique avec la suite $u$ active, appuie sur OK, sélectionne Somme des termes et valide. Indique le premier terme avec 0 OK, puis le dernier terme avec 1 0 OK.
Le bandeau affiche $\sum = 143$. Tu peux le retrouver à la main avec la formule de la somme d'une suite arithmétique : $S = \dfrac{(n+1)(u_0 + u_n)}{2} = \dfrac{11 \times (3 + 23)}{2} = \dfrac{286}{2} = 143$.
Somme d'une suite géométrique
On veut calculer la somme $\sum_{k=0}^{5} v_k$ pour la suite $v_n = 2 \times 3^{n}$. Bascule le curseur sur la suite $v$ avec ou , puis OK → Somme des termes → premier $0$, dernier $5$. Le bandeau affiche $\sum = 728$. Vérification avec la formule géométrique : $S = v_0 \times \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q} = 2 \times \dfrac{1 - 3^{6}}{1 - 3} = 2 \times \dfrac{-728}{-2} = 728$.
Étudier la convergence avec le graphique en escalier
Pour une suite définie par récurrence $u_{n+1} = f(u_n)$, le graphique en escalier est l'outil graphique de référence pour visualiser la convergence. Il superpose la courbe de la fonction $f$ et la droite $y = x$, puis dessine en escalier le passage de chaque terme au suivant. Si l'escalier converge vers le point d'intersection des deux courbes, la suite converge vers ce point fixe.
Cette construction, qui demanderait plusieurs minutes au tableau, est tracée automatiquement par la NumWorks. C'est uniquement disponible pour les suites récurrentes — pas pour les suites explicites.
| Place le curseur sur la suite récurrente dans l'onglet Graphique | |
| OK | Ouvre le menu d'options de la suite |
| Graphique en escalier | Sélectionne cette ligne et valide |
| Avancent / reculent d'un terme dans l'escalier | |
| + - | Zoom / dézoom |
| Quitte le graphique en escalier |
Convergence vers un point fixe
On veut étudier la convergence de la suite $u_{n+1} = 0{,}5\,u_n + 1$ avec $u_0 = 0$ vers le point fixe $\ell = 2$. Sur cette suite récurrente, ouvre le menu avec OK puis Graphique en escalier → OK. La NumWorks trace la droite $y = 0{,}5x + 1$ et la droite $y = x$. Avance avec : tu vois l'escalier monter en se rapprochant du point d'intersection.
Ce point d'intersection a pour abscisse la solution de $\ell = 0{,}5\,\ell + 1$, soit $\ell = 2$. Le graphique en escalier illustre donc visuellement que la suite converge vers $\ell = 2$, résultat à démontrer rigoureusement avec les théorèmes du cours (suite croissante majorée).
Remarque
CAPTURE À GÉNÉRER — Graphique en escalier de la suite $u_{n+1} = 0{,}5\,u_n + 1$, $u_0 = 0$, après plusieurs pas : on voit la droite $y = 0{,}5x + 1$, la droite $y = x$, et l'escalier qui monte vers leur point d'intersection $(2\ ;\ 2)$.
Touches : OK → Graphique en escalier → OK → plusieurs fois
Attention
Le graphique en escalier ne démontre pas la convergence : il aide à la conjecturer. Pour une rédaction propre en Première, tu dois ensuite justifier mathématiquement (suite monotone bornée, raison comprise entre $-1$ et $1$ pour les arithmético-géométriques, etc.). La calculatrice est un outil d'exploration, pas une preuve.
Astuce
Pour comparer le comportement de plusieurs suites récurrentes (par exemple $u_{n+1} = 0{,}5\,u_n + 1$ qui converge et $v_{n+1} = 1{,}5\,v_n - 1$ qui diverge), saisis-les toutes les deux dans l'application puis trace leur graphique en escalier l'une après l'autre. Le contraste visuel — escalier qui se referme contre escalier qui s'éloigne — est immédiat.