Primitives de fonctions usuelles

On utilise le tableau des primitives usuelles. On rappelle qu'une primitive est définie à une constante additive près.

1. $ f $ est une fonction polynôme. Par linéarité, on intègre terme à terme :

   $ F(x) = 3 \times \dfrac{x^3}{3} - 4 \times \dfrac{x^2}{2} + 5x $

   soit $\mathbf{F(x) = x^3 - 2x^2 + 5x}$.

2. On écrit $ g(x) = 2 \times \dfrac{1}{x^3} $. Une primitive de $ \dfrac{1}{x^n} $ (avec $ n = 3 $) sur $ ]0\,;+\infty[ $ est $ -\dfrac{1}{(n-1)x^{n-1}} = -\dfrac{1}{2x^2} $. Par linéarité :

   $ G(x) = 2 \times \left(-\dfrac{1}{2x^2}\right) $

   soit $\mathbf{G(x) = -\dfrac{1}{x^2}}$.

   Vérification : $ G^{\prime}(x) = -(-2)x^{-3} = \dfrac{2}{x^3} = g(x) $.

3. La fonction $ x \mapsto e^x $ a pour primitive $ x \mapsto e^x $, et la fonction $ x \mapsto \dfrac{1}{x} $ a pour primitive $ x \mapsto \ln(x) $ sur $ ]0\,;+\infty[ $. Par linéarité :

   $\mathbf{H(x) = e^x + \ln(x)}$

4. Une primitive de $ x \mapsto \dfrac{1}{\sqrt{x}} $ sur $ ]0\,;+\infty[ $ est :

   $\mathbf{K(x) = 2\sqrt{x}}$