Démontrer l’existence et l’unicité d’une solution (corollaire du TVI)
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Pour montrer que l'équation $f(x) = k$ admet une unique solution sur un intervalle $[a\,;\,b]$ :
- Étape 1 : justifier que $f$ est continue sur $[a\,;\,b]$.
- Étape 2 : justifier que $f$ est strictement monotone (croissante ou décroissante) sur $[a\,;\,b]$, le plus souvent grâce au signe de $f'$.
- Étape 3 : calculer $f(a)$ et $f(b)$ et vérifier que $k$ est compris entre les deux.
- Étape 4 : conclure par le corollaire du TVI : l'équation $f(x) = k$ admet une unique solution $\alpha$ dans $[a\,;\,b]$.
- Étape 5 : si demandé, encadrer $\alpha$ par balayage (calculatrice ou tableur), en testant des valeurs successives.
Corollaire du TVI. Si $f$ est continue et strictement monotone sur $[a\,;\,b]$ et si $k$ est compris entre $f(a)$ et $f(b)$, alors l'équation $f(x) = k$ admet une unique solution dans $[a\,;\,b]$.
Équation polynomiale, encadrement à $10^{-1}$ près
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^3 + x - 5$. Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $[1\,;\,2]$, puis donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-1}$.
Étape 1 : $f$ est un polynôme donc continue sur $[1\,;\,2]$.
Étape 2 : $f'(x) = 3x^2 + 1 > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$, donc $f$ est strictement croissante sur $[1\,;\,2]$.
Étape 3 : $f(1) = -3$ et $f(2) = 5$. Comme $-3 \leqslant 0 \leqslant 5$, $0$ est bien compris entre $f(1)$ et $f(2)$.
Étape 4 : par le corollaire du TVI :
Étape 5 : balayage à la calculatrice avec un pas de $0{,}1$ :
| $x$ | $1{,}5$ | $1{,}51$ | $1{,}52$ |
|---|---|---|---|
| $f(x)$ | $-0{,}125$ | $-0{,}047...$ | $0{,}031...$ |
On lit que $f(1{,}51) < 0$ et $f(1{,}52) > 0$, donc :
Équation avec exponentielle
Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = e^x - 3x$. Montrer que l'équation $g(x) = 0$ admet une unique solution $\beta$ sur $[0\,;\,1]$.
Étape 1 : $g$ est la somme d'une exponentielle et d'un polynôme, donc continue sur $\mathbb{R}$, en particulier sur $[0\,;\,1]$.
Étape 2 : $g'(x) = e^x - 3$. Sur $[0\,;\,1]$, $e^x \leqslant e \approx 2{,}72 < 3$, donc $g'(x) < 0$ : $g$ est strictement décroissante sur $[0\,;\,1]$.
Étape 3 :
$g(0) = e^0 - 0 = 1$.
$g(1) = e - 3 \approx -0{,}28$.
$0$ est compris entre $g(1) \approx -0{,}28$ et $g(0) = 1$.
Étape 4 : par le corollaire du TVI :
Remarque
Le corollaire est souvent appelé « TVI version unicité ». Il combine le TVI (existence) avec la stricte monotonie (unicité).
Pour étudier la stricte monotonie, on dresse en pratique le tableau de variations de $f$ à partir du signe de $f'$.
Si la fonction n'est pas strictement monotone sur $[a\,;\,b]$, on peut souvent partager $[a\,;\,b]$ en sous-intervalles sur lesquels elle l'est, et appliquer le corollaire sur chaque morceau.
Attention
Les trois conditions sont à vérifier explicitement :
- $f$ continue sur $[a\,;\,b]$
- $f$ strictement monotone sur $[a\,;\,b]$
- $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$
Une seule omise et la conclusion d'unicité tombe.
Pour l'encadrement par balayage : choisir un pas adapté à la précision demandée ($0{,}1$ pour $10^{-1}$, $0{,}01$ pour $10^{-2}$…). Ne jamais conclure « $\alpha = \,...$ » : seule l'écriture sous la forme d'un encadrement est correcte.