Démontrer l’existence d’une solution avec le TVI
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Pour montrer que l'équation $f(x) = k$ admet au moins une solution sur un intervalle $[a\,;\,b]$ :
- Étape 1 : justifier que $f$ est continue sur $[a\,;\,b]$.
- Étape 2 : calculer $f(a)$ et $f(b)$.
- Étape 3 : vérifier que $k$ est compris entre $f(a)$ et $f(b)$ (au sens large).
- Étape 4 : conclure par le théorème des valeurs intermédiaires que l'équation admet au moins une solution dans $[a\,;\,b]$.
Théorème des valeurs intermédiaires. Si $f$ est continue sur $[a\,;\,b]$ et si $k$ est compris entre $f(a)$ et $f(b)$, alors l'équation $f(x) = k$ admet au moins une solution dans $[a\,;\,b]$.
Remarque
Le TVI garantit l'existence d'une solution, mais pas son unicité ni son nombre. Pour une unicité, voir la méthode « Démontrer l'existence et l'unicité d'une solution (corollaire du TVI) ».
Équation $f(x) = 0$
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^3 + x - 5$.
Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet au moins une solution sur $[1\,;\,2]$.
Étape 1 : $f$ est un polynôme, donc continue sur $\mathbb{R}$, en particulier sur $[1\,;\,2]$.
Étape 2 :
$f(1) = 1 + 1 - 5 = -3$.
$f(2) = 8 + 2 - 5 = 5$.
Étape 3 : $-3 \leqslant 0 \leqslant 5$, donc $0$ est compris entre $f(1)$ et $f(2)$.
Étape 4 : par le théorème des valeurs intermédiaires :
Équation $f(x) = k$ avec $k$ non nul
Soit $g$ la fonction définie sur $[0\,;\,3]$ par $g(x) = e^x - x^2$.
Montrer que l'équation $g(x) = 4$ admet au moins une solution sur $[0\,;\,3]$.
Étape 1 : $g$ est la différence de deux fonctions continues sur $\mathbb{R}$ ($x \mapsto e^x$ et $x \mapsto x^2$), donc $g$ est continue sur $[0\,;\,3]$.
Étape 2 :
$g(0) = e^0 - 0 = 1$.
$g(3) = e^3 - 9 \approx 20{,}09 - 9 \approx 11{,}09$.
Étape 3 : $1 \leqslant 4 \leqslant g(3)$, donc $4$ est compris entre $g(0)$ et $g(3)$.
Étape 4 : par le théorème des valeurs intermédiaires :
Remarque
Cas particulier fréquent : si $f(a)$ et $f(b)$ sont de signes contraires, alors $0$ est automatiquement compris entre $f(a)$ et $f(b)$, et l'équation $f(x) = 0$ admet au moins une solution sur $[a\,;\,b]$.
Attention
La continuité de $f$ sur $[a\,;\,b]$ est une hypothèse essentielle : sans elle, le TVI ne s'applique pas et la conclusion peut être fausse.
L'inégalité « $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$ » est large : si $k = f(a)$ ou $k = f(b)$, le résultat reste valide.
Le TVI conclut « au moins une solution ». Pour parler d'unique solution, il faut en plus la stricte monotonie : voir le corollaire du TVI.