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Fonctions : limites - continuité Exercices

Coût moyen d’une production

Durée estimée
25 minutes
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Objectif travaillé

Une entreprise fabrique entre $1$ et $50$ unités d'un produit par jour. Le coût total de fabrication, en milliers d'euros, est modélisé par :

$C(x) = x^2 + 100$ pour $x \in [1\,;50]$,

où $x$ désigne le nombre d'unités produites par jour.

Le coût moyen par unité produite est alors la fonction $f$ définie sur $[1\,;50]$ par :

$f(x) = \dfrac{C(x)}{x} = x + \dfrac{100}{x}$.
  1. Calculer $f(1)$ et $f(50)$.

  2. On admet que $f$ est dérivable sur $[1\,;50]$ et que sa dérivée est donnée par $f'(x) = 1 - \dfrac{100}{x^2}$.

    1. Étudier le signe de $f'(x)$ sur $[1\,;50]$.
    2. En déduire les variations de $f$ sur $[1\,;50]$ et dresser son tableau de variations.
  3. L'entreprise cherche à minimiser le coût moyen par unité. Quelle quantité doit-elle produire ? Quel est alors le coût moyen minimal ?

  4. On souhaite étudier l'équation $f(x) = 30$ sur $[1\,;50]$.

    1. Justifier que cette équation admet exactement deux solutions sur $[1\,;50]$, l'une dans $[1\,;10]$ et l'autre dans $[10\,;50]$.
    2. À l'aide de la calculatrice, donner un encadrement à $10^{-1}$ près de chacune de ces deux solutions.
  5. Interpréter les résultats de la question 4 dans le contexte de l'entreprise.

Corrigé

  1. On calcule directement :
    $f(1) = 1 + \dfrac{100}{1} = \mathbf{101}$.

    $f(50) = 50 + \dfrac{100}{50} = 50 + 2 = \mathbf{52}.$

    1. Pour tout $x \in [1\,;50]$ :
      $f'(x) = 1 - \dfrac{100}{x^2} = \dfrac{x^2 - 100}{x^2}$.

      Sur $[1\,;50]$, $x^2 > 0$, donc $f'(x)$ est du signe de $x^2 - 100$.

      $x^2 - 100 = 0 \Leftrightarrow x = 10$ (en ne retenant que la solution positive).

      Donc :

      • sur $[1\,;10]$, $x^2 \leqslant 100$, soit $f'(x) \leqslant 0$
      • sur $[10\,;50]$, $x^2 \geqslant 100$, soit $f'(x) \geqslant 0$

    2. La fonction $f$ est donc décroissante sur $[1\,;10]$ et croissante sur $[10\,;50]$. Elle admet un minimum en $x = 10$ avec $f(10) = 10 + \dfrac{100}{10} = 20$.

      Tableau de variations de f sur [1;50]
  3. Le coût moyen est minimal pour $x = 10$ unités produites. Le coût moyen minimal vaut alors $f(10) = \mathbf{20}$ milliers d'euros par unité, soit $20\,000$ € par unité.

    1. La fonction $f$ est continue sur $[1\,;50]$ (somme et quotient de fonctions continues, le dénominateur ne s'annulant pas).

      Sur $[1\,;10]$ : $f$ est continue, strictement décroissante de $f(1) = 101$ à $f(10) = 20$. Or $30$ est compris entre $20$ et $101$. D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $f(x) = 30$ admet une unique solution $\alpha_1$ sur $[1\,;10]$.

      Sur $[10\,;50]$ : $f$ est continue, strictement croissante de $f(10) = 20$ à $f(50) = 52$. Or $30$ est compris entre $20$ et $52$. D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $f(x) = 30$ admet une unique solution $\alpha_2$ sur $[10\,;50]$.

      L'équation $f(x) = 30$ admet donc exactement deux solutions sur $[1\,;50]$ : $\alpha_1 \in [1\,;10]$ et $\alpha_2 \in [10\,;50]$.

    2. À la calculatrice, on calcule des valeurs de $f$ pour encadrer les solutions.

      Pour $\alpha_1$ (sur $[1\,;10]$, où $f$ décroît) :
      $f(3{,}8) \approx 30{,}12$ et $f(3{,}9) \approx 29{,}54$, donc $f(3{,}8) > 30 > f(3{,}9)$.

      D'où $\mathbf{3{,}8 < \alpha_1 < 3{,}9}$.

      Pour $\alpha_2$ (sur $[10\,;50]$, où $f$ croît) :
      $f(26{,}1) \approx 29{,}93$ et $f(26{,}2) \approx 30{,}02$, donc $f(26{,}1) < 30 < f(26{,}2)$.

      D'où $\mathbf{26{,}1 < \alpha_2 < 26{,}2}$.

  5. Le coût moyen vaut $30$ milliers d'euros par unité (soit $30\,000$ €) pour deux niveaux de production : environ $3{,}8$ unités et environ $26{,}2$ unités. Entre ces deux quantités, le coût moyen est inférieur à $30\,000$ € par unité ; en dehors, il est supérieur. L'entreprise a donc intérêt à produire entre environ $4$ et $26$ unités par jour pour maintenir un coût moyen inférieur à $30\,000$ € par unité.