QCM : Continuité et théorème des valeurs intermédiaires
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Ce QCM porte sur la continuité, la dérivabilité et le théorème des valeurs intermédiaires. Pour chaque question, choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
Déroulement pas à pas (Correction et Indices)
Question 1 : Parmi les implications suivantes concernant une fonction $f$ définie sur un intervalle $I$, laquelle est correcte ?
- (Incorrect) Si $f$ est continue sur $I$, alors $f$ est dérivable sur $I$
- (Correct) Si $f$ est dérivable sur $I$, alors $f$ est continue sur $I$
- (Incorrect) Si $f$ est continue sur $I$, alors $f$ est strictement monotone sur $I$
- (Incorrect) Si $f$ est dérivable sur $I$, alors $f$ est strictement monotone sur $I$
Question 2 : Que peut-on dire de la fonction $f : x \mapsto |x|$ sur $\mathbb{R}$ ?
- (Incorrect) Elle est continue et dérivable sur $\mathbb{R}$
- (Correct) Elle est continue sur $\mathbb{R}$ mais pas dérivable en $0$
- (Incorrect) Elle n'est ni continue ni dérivable en $0$
- (Incorrect) Elle est dérivable mais pas continue en $0$
Question 3 : Soit $f$ une fonction continue sur l'intervalle $[1\,;\,5]$ vérifiant $f(1) = -2$ et $f(5) = 3$. Parmi les équations suivantes, laquelle est sûre d'admettre au moins une solution sur $[1\,;\,5]$ ?
- (Incorrect) $f(x) = 4$
- (Correct) $f(x) = 0$
- (Incorrect) $f(x) = -3$
- (Incorrect) $f(x) = 10$
Question 4 : Une fonction $f$ continue sur $[a\,;\,b]$ vérifie $f(a) < y_0 < f(b)$. Le théorème des valeurs intermédiaires permet d'affirmer que l'équation $f(x) = y_0$ admet…
- (Incorrect) exactement une solution sur $[a\,;\,b]$
- (Correct) au moins une solution sur $[a\,;\,b]$
- (Incorrect) exactement deux solutions sur $[a\,;\,b]$
- (Incorrect) aucune solution sur $[a\,;\,b]$
Question 5 : Pour appliquer le corollaire du TVI sur $[a\,;\,b]$ avec $f(a) < y_0 < f(b)$ et garantir l'unicité de la solution, quelle hypothèse manque-t-il à la continuité ?
- (Incorrect) $f$ est paire sur $[a\,;\,b]$
- (Incorrect) $f$ est positive sur $[a\,;\,b]$
- (Correct) $f$ est strictement monotone sur $[a\,;\,b]$
- (Incorrect) $f$ est dérivable sur $[a\,;\,b]$
Question 6 : Soit $f$ une fonction continue sur $[0\,;\,2]$ telle que $f(0) = 1$ et $f(2) = 1$. Que peut-on dire des solutions de l'équation $f(x) = 1$ sur $[0\,;\,2]$ ?
- (Incorrect) L'équation a exactement deux solutions
- (Incorrect) L'équation n'a aucune solution
- (Correct) L'équation admet au moins une solution mais le TVI ne précise pas leur nombre exact
- (Incorrect) L'équation a une infinité de solutions