Calculer l’espérance d’une variable aléatoire à densité
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Soit $ X $ une variable aléatoire continue de densité $ f $ sur l'intervalle $ [a;b] $.
Pour calculer l'espérance $ E(X) $ :
- Étape 1 : écrire la formule $ \displaystyle E(X) = \int_{a}^{b} x\,f(x)\,dx $.
- Étape 2 : développer le produit $ x \times f(x) $ pour obtenir une expression facile à intégrer.
- Étape 3 : déterminer une primitive $ G $ de la fonction $ x \mapsto x\,f(x) $.
- Étape 4 : appliquer la formule $ E(X) = G(b) - G(a) $ et donner le résultat.
Remarque
L'espérance représente la valeur moyenne prise par la variable aléatoire $ X $ : elle s'interprète comme le « centre de gravité » de la densité $ f $.
Remarque
Pour les lois usuelles, on dispose de formules directes :
- Loi uniforme sur $ [a;b] $ : $ E(X) = \dfrac{a+b}{2} $.
- Loi exponentielle de paramètre $ \lambda $ : $ E(X) = \dfrac{1}{\lambda} $.
Espérance d'une densité polynomiale
Soit $ X $ une variable aléatoire de densité $ f(x) = \dfrac{x}{2} $ sur $ [0;2] $.
Calculer $ E(X) $.
Étape 1 :
Étape 2 :
Étape 3 : une primitive de $ x \mapsto \dfrac{x^{2}}{2} $ est $ G(x) = \dfrac{x^{3}}{6} $.
Étape 4 :
$ G(2) = \dfrac{8}{6} = \dfrac{4}{3} $
$ G(0) = 0 $
L'espérance de $ X $ est $ \dfrac{4}{3} \approx 1{,}33 $.
Espérance d'une loi sur un intervalle décalé
Soit $ X $ une variable aléatoire de densité $ f(x) = \dfrac{2}{9}\,(x - 1) $ sur $ [1;4] $.
Calculer $ E(X) $.
Étape 1 :
Étape 2 :
Étape 3 : une primitive est $ G(x) = \dfrac{2}{9}\left(\dfrac{x^{3}}{3} - \dfrac{x^{2}}{2}\right) $.
Étape 4 :
$ G(4) = \dfrac{2}{9}\left(\dfrac{64}{3} - 8\right) = \dfrac{2}{9} \times \dfrac{40}{3} = \dfrac{80}{27} $
$ G(1) = \dfrac{2}{9}\left(\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{2}{9} \times \left(-\dfrac{1}{6}\right) = -\dfrac{1}{27} $
L'espérance de $ X $ est $ E(X) = 3 $.
Attention
Erreurs fréquentes :
- Oublier le facteur $ x $ dans la formule et calculer $ \displaystyle\int f(x)\,dx $ (qui vaut toujours $ 1 $).
- Confondre $ E(X) $ avec la valeur médiane ou le maximum de la densité.
- Faire des erreurs de signe quand l'intervalle contient des valeurs négatives.
- Ne pas vérifier que le résultat appartient bien à l'intervalle $ [a;b] $ : l'espérance doit être comprise entre $ a $ et $ b $.