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Lois à densité Exercices

Variance et écart-type d’une loi à densité

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10 minutes
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Objectif travaillé

Dans un atelier de poterie, on s'intéresse à la durée $ X $, exprimée en heures, pendant laquelle un visiteur reste sur le stand un jour d'affluence. Cette durée est modélisée par une variable aléatoire continue de densité $ f $ définie sur l'intervalle $ [0;4] $ par :

$ f(x)=\dfrac{x}{8} $
  1. Vérifier que $ f $ est une densité de probabilité sur $ [0;4] $.
  2. Calculer l'espérance $ E(X) $ de la variable aléatoire $ X $ et interpréter ce résultat dans le contexte.
  3. Calculer $ E(X^{2})=\displaystyle\int_{0}^{4} x^{2}\,f(x)\,dx $.
  4. En déduire la variance $ V(X) $, puis l'écart-type $ \sigma(X) $ de la variable aléatoire $ X $. On donnera une valeur approchée au centième.

Corrigé

  1. On vérifie les trois conditions caractérisant une densité de probabilité.

    1. $ f $ est une fonction polynôme, donc $ f $ est continue sur $ [0;4] $.
    2. Pour tout $ x \in [0;4] $, on a $ x \geqslant 0 $, donc $ \dfrac{x}{8} \geqslant 0 $ : la fonction $ f $ est positive sur $ [0;4] $.

    3. Une primitive de $ f $ est $ F(x)=\dfrac{x^{2}}{16} $. On calcule :

      $ \displaystyle\int_{0}^{4} \dfrac{x}{8}\,dx = \left[\dfrac{x^{2}}{16}\right]_{0}^{4} = \dfrac{16}{16} - 0 = 1 $

    Les trois conditions sont vérifiées, donc $ f $ est bien une densité de probabilité sur $ [0;4] $.

  2. Par définition, $ E(X)=\displaystyle\int_{0}^{4} x\,f(x)\,dx $.

    $ E(X)=\displaystyle\int_{0}^{4} x \times \dfrac{x}{8}\,dx = \displaystyle\int_{0}^{4} \dfrac{x^{2}}{8}\,dx $

    Une primitive de $ x \mapsto \dfrac{x^{2}}{8} $ est $ x \mapsto \dfrac{x^{3}}{24} $, donc :

    $ E(X)=\left[\dfrac{x^{3}}{24}\right]_{0}^{4} = \dfrac{64}{24} - 0 = \dfrac{8}{3} $

    L'espérance vaut $\mathbf{E(X)=\dfrac{8}{3} \approx 2{,}67}$ heures : en moyenne, un visiteur reste environ $ 2 $ heures et $ 40 $ minutes sur le stand.

  3. On calcule de la même façon :

    $ E(X^{2})=\displaystyle\int_{0}^{4} x^{2} \times \dfrac{x}{8}\,dx = \displaystyle\int_{0}^{4} \dfrac{x^{3}}{8}\,dx $

    Une primitive de $ x \mapsto \dfrac{x^{3}}{8} $ est $ x \mapsto \dfrac{x^{4}}{32} $, donc :

    $ E(X^{2})=\left[\dfrac{x^{4}}{32}\right]_{0}^{4} = \dfrac{256}{32} - 0 = 8 $

    On obtient $\mathbf{E(X^{2})=8}$.

  4. D'après la formule de König-Huygens, $ V(X)=E(X^{2})-\left(E(X)\right)^{2} $.

    $ V(X)=8 - \left(\dfrac{8}{3}\right)^{2} = 8 - \dfrac{64}{9} = \dfrac{72}{9} - \dfrac{64}{9} = \dfrac{8}{9} $

    La variance vaut donc $\mathbf{V(X)=\dfrac{8}{9} \approx 0{,}89}$.

    L'écart-type s'en déduit par $ \sigma(X)=\sqrt{V(X)} $ :

    $ \sigma(X)=\sqrt{\dfrac{8}{9}} = \dfrac{\sqrt{8}}{3} = \dfrac{2\sqrt{2}}{3} $

    soit $\mathbf{\sigma(X) \approx 0{,}94}$ heure.