Exercice corrigé[ d'après Bac ]
Un magasin vend des moteurs électriques tous identiques. Une étude statistique du service après-vente a permis d'établir que la probabilité qu'un moteur tombe en panne pendant la première année d'utilisation est égale à 0,12.
On admet que la durée de vie sans panne, exprimée en années, de chaque moteur est une variable aléatoire Y qui suit une loi exponentielle de paramètre \lambda , où \lambda est un réel strictement positif.
On rappelle que pour tout réel positif t : p\left(Y\leqslant t\right)=\int_{0}^{t} \lambda e^{- \lambda x}dx.
Dans les questions 1, 2, 3, les résultats seront arrondis à 10^{-3} près.
- Exprimer p\left(Y\leqslant 1\right) en fonction de \lambda . En déduire la valeur de \lambda .
Pour la suite de l'exercice, on prendra \lambda =0,128 . - Quelle est la probabilité qu'un moteur dure plus de 3 ans ?
- Quelle est la probabilité qu'un moteur dure plus de 4 ans sachant qu'il a duré plus d'un an ?
- On admet que la durée de vie moyenne d_{m} de ces moteurs est égale à \lim\limits_{t\rightarrow +\infty } F\left(t\right) où F est la fonction définie sur l'intervalle \left[0 ;+\infty \right[ par F\left(t\right)=\int_{0}^{t} \lambda xe^{- \lambda x}dx.
- Montrer que la fonction \Phi définie par \Phi \left(t\right)=-te^{- \lambda t}-\frac{1}{\lambda }e^{- \lambda t} est une primitive de la fonction x\mapsto \lambda xe^{- \lambda x}.
- En déduire F\left(t\right) en fonction de t.
- Donner la valeur exacte de d_{m} puis la valeur arrondie à 10^{-1} près.
Corrigé
- p\left(Y\leqslant 1\right)=\int_{0}^{1} \lambda e^{- \lambda x}dx=\left[- e^{- \lambda x}\right]_{0}^{1}=-e^{- \lambda }+1
La probabilité qu'un moteur tombe en panne pendant la première année d'utilisation est égale à 0,12 donc :
1-e^{- \lambda }=0,12
c'est à dire :
e^{-\lambda}=0,88
-\lambda =\ln 0,88
\lambda =-\ln 0,88
\lambda \approx 0,128 à 10^{-3} près. - L'évènement "un moteur dure plus de 3 ans" est l'évènement contraire de "un moteur tombe en panne dans les 3 ans".
p\left(Y > 3\right)=1-p\left(Y\leqslant 3\right)=1-\int_{0}^{3} 0,128\text{e}^{- 0,128 x}dx=1-\left[-e^{- 0,128 x}\right]_{0}^{3}
p\left(Y > 3\right)=1-\left(-e^{- 0,128 \times 3}+1\right)=e^{- 0,384} \approx 0,681 à 10^{-3} près. - La loi exponentielle étant sans vieillissement :
p_{Y > 1}\left(Y > 4\right)=p\left(Y > 3\right)\approx 0,681 à 10^{-3} près. - \Phi ^{\prime}\left(t\right)=-e^{- \lambda t}-t\times \left(-\lambda e^{-\lambda t}\right)-\frac{1}{\lambda }\times \left(-\lambda \right)e^{-\lambda t}=\lambda t e^{-\lambda t}
donc \Phi est une primitive de la fonction x\mapsto \lambda xe^{- \lambda x}. - F\left(t\right)=\int_{0}^{t} \lambda xe^{- \lambda x}dx=\left[\Phi \left(x\right)\right]_{0}^{t}=\Phi \left(t\right)-\Phi \left(0\right)=-te^{- \lambda t}-\frac{1}{\lambda }e^{- \lambda t}+\frac{1}{\lambda }
- En posant T=- \lambda t :
\lim\limits_{t \rightarrow +\infty }-te^{-\lambda t}=\lim\limits_{T \rightarrow -\infty } \frac{1}{\lambda} \times Te^{T}=0 (par croissance comparée)
Comme de plus, \lim\limits_{t\rightarrow +\infty }e^{- \lambda t}=0
on en déduit (par somme) :
d_{m}=\lim\limits_{t\rightarrow +\infty }-te^{- \lambda t}-\frac{1}{\lambda }e^{- \lambda t}+\frac{1}{\lambda }=\frac{1}{\lambda }
d_{m}\approx 7,8 années à 10^{-1} près.
- \Phi ^{\prime}\left(t\right)=-e^{- \lambda t}-t\times \left(-\lambda e^{-\lambda t}\right)-\frac{1}{\lambda }\times \left(-\lambda \right)e^{-\lambda t}=\lambda t e^{-\lambda t}