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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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[Bac] Probabilités : Loi exponentielle

[ d'après Bac ] Un magasin vend des moteurs électriques tous identiques. Une étude statistique du service après-vente a permis d'établir que la probabilité qu'un moteur tombe en panne pendant la première année d'utilisation est égale à [latex]0,12[/latex]. On admet que la durée de vie sans panne, exprimée en années, de chaque moteur est une variable aléatoire [latex]Y[/latex] qui suit une loi exponentielle de paramètre [latex]\lambda [/latex], où [latex]\lambda [/latex] est un réel strictement positif. On rappelle que pour tout réel positif [latex]t[/latex] : [latex]p\left(Y\leqslant t\right)=\int_{0}^{t} \lambda e^{- \lambda x}dx[/latex]. Dans les questions 1, 2, 3, les résultats seront arrondis à [latex]10^{-3}[/latex] près.
  1. Exprimer [latex]p\left(Y\leqslant 1\right)[/latex] en fonction de [latex]\lambda [/latex]. En déduire la valeur de [latex]\lambda [/latex]. Pour la suite de l'exercice, on prendra [latex]\lambda =0,128[/latex] .
  2. Quelle est la probabilité qu'un moteur dure plus de 3 ans ?
  3. Quelle est la probabilité qu'un moteur dure plus de 4 ans sachant qu'il a duré plus d'un an ?
  4. On admet que la durée de vie moyenne [latex]d_{m}[/latex] de ces moteurs est égale à [latex]\lim\limits_{t\rightarrow +\infty } F\left(t\right)[/latex] où [latex]F[/latex] est la fonction définie sur l'intervalle [latex]\left[0 ;+\infty \right[[/latex] par [latex]F\left(t\right)=\int_{0}^{t} \lambda xe^{- \lambda x}dx[/latex].
    1. Montrer que la fonction [latex]\Phi [/latex] définie par [latex]\Phi \left(t\right)=-te^{- \lambda t}-\frac{1}{\lambda }e^{- \lambda t}[/latex] est une primitive de la fonction [latex]x\mapsto \lambda xe^{- \lambda x}[/latex].
    2. En déduire [latex]F\left(t\right)[/latex] en fonction de [latex]t[/latex].
    3. Donner la valeur exacte de [latex]d_{m}[/latex] puis la valeur arrondie à [latex]10^{-1}[/latex] près.

Corrigé

  1. [latex]p\left(Y\leqslant 1\right)=\int_{0}^{1} \lambda e^{- \lambda x}dx=\left[- e^{- \lambda x}\right]_{0}^{1}=-e^{- \lambda }+1[/latex] La probabilité qu'un moteur tombe en panne pendant la première année d'utilisation est égale à [latex]0,12[/latex] donc : [latex]1-e^{- \lambda }=0,12[/latex] c'est à dire : [latex]e^{-\lambda}=0,88[/latex] [latex]-\lambda =\ln 0,88[/latex] [latex]\lambda =-\ln 0,88[/latex] [latex]\lambda \approx 0,128[/latex] à [latex]10^{-3}[/latex] près.
  2. L'évènement "un moteur dure plus de 3 ans" est l'évènement contraire de "un moteur tombe en panne dans les 3 ans". [latex]p\left(Y > 3\right)=1-p\left(Y\leqslant 3\right)=1-\int_{0}^{3} 0,128\text{e}^{- 0,128 x}dx=1-\left[-e^{- 0,128 x}\right]_{0}^{3}[/latex] [latex]p\left(Y > 3\right)=1-\left(-e^{- 0,128 \times 3}+1\right)=e^{- 0,384} \approx 0,681[/latex] à [latex]10^{-3}[/latex] près.
  3. La loi exponentielle étant sans vieillissement : [latex]p_{Y > 1}\left(Y > 4\right)=p\left(Y > 3\right)\approx 0,681[/latex] à [latex]10^{-3}[/latex] près.
    1. [latex]\Phi ^{\prime}\left(t\right)=-e^{- \lambda t}-t\times \left(-\lambda e^{-\lambda t}\right)-\frac{1}{\lambda }\times \left(-\lambda \right)e^{-\lambda t}=\lambda t e^{-\lambda t}[/latex] donc [latex]\Phi [/latex] est une primitive de la fonction [latex]x\mapsto \lambda xe^{- \lambda x}[/latex].
    2. [latex]F\left(t\right)=\int_{0}^{t} \lambda xe^{- \lambda x}dx=\left[\Phi \left(x\right)\right]_{0}^{t}=\Phi \left(t\right)-\Phi \left(0\right)=-te^{- \lambda t}-\frac{1}{\lambda }e^{- \lambda t}+\frac{1}{\lambda }[/latex]
    3. En posant [latex]T=- \lambda t[/latex] : [latex]\lim\limits_{t \rightarrow +\infty }-te^{-\lambda t}=\lim\limits_{T \rightarrow -\infty } \frac{1}{\lambda} \times Te^{T}=0[/latex] (par croissance comparée) Comme de plus, [latex]\lim\limits_{t\rightarrow +\infty }e^{- \lambda t}=0[/latex] on en déduit (par somme) : [latex]d_{m}=\lim\limits_{t\rightarrow +\infty }-te^{- \lambda t}-\frac{1}{\lambda }e^{- \lambda t}+\frac{1}{\lambda }=\frac{1}{\lambda }[/latex] [latex]d_{m}\approx 7,8[/latex] années à [latex]10^{-1}[/latex] près.