QCM : Espérance et fonction de répartition
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Ce QCM porte sur l'espérance et la fonction de répartition d'une variable aléatoire à densité. Pour chaque question, choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
Déroulement pas à pas (Correction et Indices)
Question 1 : Soit $X$ une variable aléatoire de densité $f$ sur $[a\,;\,b]$. Quelle expression donne $E(X)$ ?
- (Incorrect) $\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,dx$
- (Incorrect) $\displaystyle\int_{a}^{b} f^{\prime}(x)\,dx$
- (Correct) $\displaystyle\int_{a}^{b} x\,f(x)\,dx$
- (Incorrect) $\dfrac{a + b}{2}$
Question 2 : Soit $X$ une variable aléatoire de densité $f(x) = \dfrac{x}{2}$ sur $[0\,;\,2]$. Que vaut $E(X)$ ?
- (Incorrect) $1$
- (Incorrect) $2$
- (Correct) $\dfrac{4}{3}$
- (Incorrect) $\dfrac{1}{2}$
Question 3 : Soit $X$ une variable aléatoire de densité $f$ sur $[a\,;\,b]$. Sa fonction de répartition $F$ est définie par :
- (Incorrect) $F(x) = f(x)$
- (Incorrect) $F(x) = f^{\prime}(x)$
- (Correct) $F(x) = P(X \leqslant x) = \displaystyle\int_{a}^{x} f(t)\,dt$ pour $x \in [a\,;\,b]$
- (Incorrect) $F(x) = E(X) \times f(x)$
Question 4 : Soit $X$ une variable aléatoire à densité sur $[a\,;\,b]$ et $F$ sa fonction de répartition. Quelle relation est correcte ?
- (Incorrect) $F(a) = 1$ et $F(b) = 0$
- (Correct) $F(a) = 0$ et $F(b) = 1$
- (Incorrect) $F(a) = F(b) = 0{,}5$
- (Incorrect) $F$ est constante sur $[a\,;\,b]$
Question 5 : Soit $X$ de densité $f(x) = \dfrac{x}{2}$ sur $[0\,;\,2]$. Quelle est la fonction de répartition $F$ de $X$ pour $x \in [0\,;\,2]$ ?
- (Incorrect) $F(x) = \dfrac{x}{2}$
- (Correct) $F(x) = \dfrac{x^{2}}{4}$
- (Incorrect) $F(x) = \dfrac{x^{2}}{2}$
- (Incorrect) $F(x) = x^{2}$
Question 6 : $X$ suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda = 0{,}5$. Quelle est sa fonction de répartition $F$ sur $[0\,;\,+\infty[$ ?
- (Incorrect) $F(x) = \text{e}^{- 0{,}5\,x}$
- (Correct) $F(x) = 1 - \text{e}^{- 0{,}5\,x}$
- (Incorrect) $F(x) = 0{,}5\,\text{e}^{- 0{,}5\,x}$
- (Incorrect) $F(x) = 1 + \text{e}^{- 0{,}5\,x}$