QCM Bilan : Lois à densité
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Ce QCM bilan couvre l'ensemble du chapitre : variable aléatoire continue, loi uniforme, loi exponentielle et espérance. Choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
Déroulement pas à pas (Correction et Indices)
Question 1 : Parmi les fonctions suivantes définies sur $[0\,;\,1]$, laquelle est une densité de probabilité ?
- (Incorrect) $f(x) = x$
- (Incorrect) $f(x) = 1 - 2x$
- (Correct) $f(x) = 2x$
- (Incorrect) $f(x) = x^{2}$
Question 2 : Le temps d'attente $T$ (en minutes) à un guichet suit une loi uniforme sur $[0\,;\,12]$. Sachant qu'on a déjà attendu $4$ minutes, quelle est la probabilité d'attendre encore au moins $4$ minutes (c'est-à-dire $T \geqslant 8$) ?
- (Incorrect) $\dfrac{1}{3}$
- (Correct) $\dfrac{1}{2}$
- (Incorrect) $\dfrac{1}{4}$
- (Incorrect) $0$
Question 3 : La durée de vie (en années) d'un appareil suit la loi exponentielle. Sachant qu'il fonctionne depuis $5$ ans, la probabilité qu'il fonctionne encore $3$ années supplémentaires est égale à :
- (Incorrect) $P(X \geqslant 8)$
- (Correct) $P(X \geqslant 3)$
- (Incorrect) $P(X \geqslant 5)$
- (Incorrect) $\dfrac{P(X \geqslant 8)}{P(X \geqslant 5)}$ ne se simplifie pas
Question 4 : Soit $X$ une variable aléatoire de densité $f$ sur $[0\,;\,2]$ avec $f(x) = \dfrac{3}{8} x^{2}$. Quelle est l'espérance $E(X)$ ?
- (Incorrect) $1$
- (Incorrect) $\dfrac{1}{2}$
- (Incorrect) $\dfrac{3}{8}$
- (Correct) $\dfrac{3}{2}$
Question 5 : $X$ suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda$. La probabilité $P(X > E(X))$, c'est-à-dire que $X$ dépasse son espérance, vaut :
- (Incorrect) $0{,}5$
- (Correct) $\text{e}^{- 1} \approx 0{,}37$
- (Incorrect) $1 - \text{e}^{- 1} \approx 0{,}63$
- (Incorrect) Cela dépend de $\lambda$
Question 6 : Soit $f$ définie sur $[0\,;\,3]$ par $f(x) = \dfrac{2}{9}\,x$. Soit $X$ de densité $f$. Que vaut la médiane $m$ de $X$, c'est-à-dire le réel $m$ tel que $P(X \leqslant m) = \dfrac{1}{2}$ ?
- (Incorrect) $m = 1$
- (Incorrect) $m = 1{,}5$
- (Correct) $m = \dfrac{3}{\sqrt{2}} \approx 2{,}12$
- (Incorrect) $m = 2$