Vrai/Faux : Espérance et fonction de répartition

Affirmation : Soit $X$ une variable aléatoire de densité $f$ sur $[a\,;\,b]$. Alors $E(X) = \displaystyle\int_{a}^{b} x\,f(x)\,dx$.

Affirmation : Si $F$ est la fonction de répartition d'une variable aléatoire $X$ de densité $f$, alors $F^{\prime}(x) = f(x)$ là où $F$ est dérivable.

Affirmation : La fonction de répartition $F$ d'une variable aléatoire est toujours croissante sur $\mathbb{R}$.

Affirmation : Pour une variable aléatoire $X$ à densité sur $[a\,;\,b]$ et de fonction de répartition $F$, on a $F(a) = 1$ et $F(b) = 0$.

Affirmation : Soit $X$ de densité $f(x) = \dfrac{x}{2}$ sur $[0\,;\,2]$. Alors $E(X) = 1$.

Affirmation : Soit $X$ une variable aléatoire de densité $f$ sur $[a\,;\,b]$ et $F$ sa fonction de répartition. Alors $P(c \leqslant X \leqslant d) = F(d) - F(c)$ pour tous $a \leqslant c \leqslant d \leqslant b$.