Reconnaître un schéma de Bernoulli et identifier une loi binomiale
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Pour vérifier qu'une situation peut être modélisée par une loi binomiale $ \mathcal{B}(n;p) $ :
- Étape 1 : repérer l'épreuve élémentaire et vérifier qu'elle n'a que deux issues : un succès $ S $ et un échec $ \overline{S} $. Noter $ p $ la probabilité de succès.
- Étape 2 : vérifier que cette épreuve est répétée $ n $ fois dans des conditions identiques et de manière indépendante (typiquement : tirages avec remise, lancers successifs). C'est un schéma de Bernoulli.
- Étape 3 : poser $ X $ = nombre de succès parmi les $ n $ épreuves. Conclure : $ X $ suit la loi binomiale $ \mathcal{B}(n;p) $.
Remarque
Si l'une des trois conditions échoue (plus de deux issues, conditions non identiques, épreuves non indépendantes), la situation n'est pas un schéma de Bernoulli et la loi binomiale ne s'applique pas.
Tirages avec remise
Une urne contient $ 4 $ boules rouges et $ 6 $ boules noires. On tire successivement avec remise $ 5 $ boules dans l'urne. On note $ X $ le nombre de boules rouges obtenues. Justifier que $ X $ suit une loi binomiale et préciser ses paramètres.
Étape 1 : l'épreuve élémentaire est « tirer une boule dans l'urne ». Elle a deux issues : succès $ S $ = « la boule est rouge » de probabilité $ p=\dfrac{4}{10}=0{,}4 $, et échec $ \overline{S} $ = « la boule est noire » de probabilité $ 1-p=0{,}6 $.
Étape 2 : le tirage est répété $ n=5 $ fois. Comme on tire avec remise, la composition de l'urne est inchangée d'un tirage à l'autre : les épreuves sont identiques et indépendantes. Il s'agit bien d'un schéma de Bernoulli.
Étape 3 : $ X $ compte le nombre de succès parmi les $ 5 $ épreuves. Donc :
Contrôle qualité
Dans un atelier, $ 3\,\% $ des pièces produites sont défectueuses. On prélève au hasard $ 50 $ pièces dans la production journalière, qui est très importante. Soit $ Y $ le nombre de pièces défectueuses dans le prélèvement. Justifier que $ Y $ suit (approximativement) une loi binomiale.
Étape 1 : pour chaque pièce prélevée, deux issues : $ S $ = « la pièce est défectueuse » avec $ p=0{,}03 $, ou $ \overline{S} $ = « la pièce est conforme » avec $ 1-p=0{,}97 $.
Étape 2 : on prélève $ n=50 $ pièces. Le tirage est sans remise, mais comme la production est très grande devant la taille du prélèvement, on peut considérer que les prélèvements sont quasi indépendants et que la proportion de défectueuses reste $ 0{,}03 $ à chaque tirage. Le schéma est donc assimilable à un schéma de Bernoulli.
Étape 3 : $ Y $ compte le nombre de pièces défectueuses parmi $ 50 $. Donc :
Cas où la loi binomiale ne s'applique pas
Une urne contient $ 4 $ boules rouges et $ 6 $ boules noires. On tire successivement et sans remise $ 3 $ boules. Soit $ Z $ le nombre de boules rouges obtenues. La variable $ Z $ suit-elle une loi binomiale ?
Étape 1 : chaque tirage a bien deux issues (rouge / noire).
Étape 2 : le tirage est sans remise. Après le premier tirage, la composition de l'urne change : les épreuves ne sont ni identiques, ni indépendantes. La probabilité d'obtenir une rouge au deuxième tirage dépend du résultat du premier.
Étape 3 : la condition d'indépendance n'est pas vérifiée :
Attention
Pièges fréquents :
- Oublier de vérifier l'indépendance des épreuves : un tirage sans remise dans une petite population n'est pas un schéma de Bernoulli.
- Confondre le paramètre $ n $ (nombre d'épreuves) et le paramètre $ p $ (probabilité de succès).
- Définir un succès qui dépend des épreuves précédentes (par exemple : « obtenir un nouveau numéro ») : la probabilité de succès change à chaque épreuve, la loi n'est pas binomiale.