Factoriser pour résoudre une équation
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On considère l'expression :
- Développer et réduire $ E $.
- Factoriser $ E $ à l'aide d'une identité remarquable.
- Résoudre l'équation $ (2x - 1)^{2} - (x + 3)^{2} = 0 $.
- Calculer $ E $ pour $ x = 10 $, en choisissant la forme la plus adaptée.
Corrigé
On développe chaque carré à l'aide des identités remarquables :
$ (2x - 1)^{2} = (2x)^{2} - 2 \times 2x \times 1 + 1^{2} = 4x^{2} - 4x + 1 $
$ (x + 3)^{2} = x^{2} + 2 \times x \times 3 + 3^{2} = x^{2} + 6x + 9 $On calcule la différence :
$ E = 4x^{2} - 4x + 1 - (x^{2} + 6x + 9) $
$ E = 4x^{2} - 4x + 1 - x^{2} - 6x - 9 $
$ E = 3x^{2} - 10x - 8 $- L'expression $ E = (2x - 1)^{2} - (x + 3)^{2} $ est une différence de deux carrés.
On utilise $ a^{2} - b^{2} = (a + b)(a - b) $ avec $ a = 2x - 1 $ et $ b = x + 3 $ :
$ E = \left[(2x - 1) + (x + 3)\right]\left[(2x - 1) - (x + 3)\right] $
$ E = (2x - 1 + x + 3)(2x - 1 - x - 3) $
$ E = (3x + 2)(x - 4) $ L'équation $ E = 0 $ s'écrit, sous forme factorisée :
$ (3x + 2)(x - 4) = 0 $Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul :
$ 3x + 2 = 0 $ ou $ x - 4 = 0 $
$ x = -\dfrac{2}{3} $ ou $ x = 4 $L'équation admet deux solutions : $\mathbf{x = -\dfrac{2}{3}}$ et $\mathbf{x = 4}$.
- La forme factorisée est la plus pratique pour calculer :
$ E = (3 \times 10 + 2)(10 - 4) $
$ E = 32 \times 6 $
$ E = 192 $