Aire d’un terrain
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ABCD est un terrain rectangulaire de longueur $ AB = (3x + 4) $ mètres et de largeur $ AD = (3x - 4) $ mètres, où $ x $ est un nombre supérieur à $ 2 $.
On aménage une terrasse carrée de côté $ 3 $ mètres dans le coin D du terrain (zone grisée sur la figure).
- Exprimer l'aire $ \mathcal{A}_{1} $ du terrain ABCD en fonction de $ x $, à l'aide d'une identité remarquable.
- Exprimer l'aire $ \mathcal{A}_{2} $ de la partie restante du terrain (hors terrasse) en fonction de $ x $.
- Factoriser l'expression de $ \mathcal{A}_{2} $.
- Pour quelle valeur de $ x $ l'aire de la partie restante vaut-elle $ 200 $ m$ ^{2} $ ?
Corrigé
L'aire du terrain est le produit de la longueur par la largeur :
$ \mathcal{A}_{1} = (3x + 4)(3x - 4) $On reconnaît la troisième identité remarquable $ (a + b)(a - b) = a^{2} - b^{2} $ avec $ a = 3x $ et $ b = 4 $ :
$ \mathcal{A}_{1} = (3x)^{2} - 4^{2} $
$ \mathcal{A}_{1} = 9x^{2} - 16 $ m$ ^{2} $- L'aire de la terrasse carrée est $ 3^{2} = 9 $ m$ ^{2} $. L'aire restante est :
$ \mathcal{A}_{2} = \mathcal{A}_{1} - 9 $
$ \mathcal{A}_{2} = 9x^{2} - 16 - 9 $
$ \mathcal{A}_{2} = 9x^{2} - 25 $ m$ ^{2} $ - On reconnaît une différence de deux carrés : $ (3x)^{2} - 5^{2} $.
On utilise $ a^{2} - b^{2} = (a + b)(a - b) $ avec $ a = 3x $ et $ b = 5 $ :
$ \mathcal{A}_{2} = (3x + 5)(3x - 5) $ m$ ^{2} $ On cherche $ x $ tel que $ \mathcal{A}_{2} = 200 $ :
$ 9x^{2} - 25 = 200 $
$ 9x^{2} = 225 $
$ x^{2} = 25 $
$ x = 5 $ (car $ x > 2 $)Vérification : pour $ x = 5 $, le terrain mesure $ 19 \times 11 = 209 $ m$ ^{2} $, la terrasse $ 9 $ m$ ^{2} $, et $ 209 - 9 = 200 $ m$ ^{2} $.