Développement et preuve de parité
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On considère les deux expressions :
- Développer et réduire $ A $.
- Développer et réduire $ B $.
- Montrer que pour tout nombre entier $ x $, la somme $ A + B $ est un nombre impair.
Corrigé
On développe chaque partie de $ A $ à l'aide des identités remarquables :
$ (x + 5)^{2} = x^{2} + 2 \times x \times 5 + 5^{2} = x^{2} + 10x + 25 $
$ (x + 3)(x - 3) = x^{2} - 3^{2} = x^{2} - 9 $On calcule la différence :
$ A = x^{2} + 10x + 25 - (x^{2} - 9) $
$ A = x^{2} + 10x + 25 - x^{2} + 9 $
$ A = 10x + 34 $On développe chaque partie de $ B $ :
$ (2x - 1)^{2} = (2x)^{2} - 2 \times 2x \times 1 + 1^{2} = 4x^{2} - 4x + 1 $
$ 4(x + 2)(x - 2) = 4(x^{2} - 2^{2}) = 4(x^{2} - 4) = 4x^{2} - 16 $On calcule la différence :
$ B = 4x^{2} - 4x + 1 - (4x^{2} - 16) $
$ B = 4x^{2} - 4x + 1 - 4x^{2} + 16 $
$ B = -4x + 17 $On calcule $ A + B $ :
$ A + B = (10x + 34) + (-4x + 17) $
$ A + B = 6x + 51 $On peut écrire :
$ A + B = 6x + 50 + 1 = 2(3x + 25) + 1 $Le nombre $ 2(3x + 25) $ est pair (car c'est un multiple de $ 2 $). Donc $ 2(3x + 25) + 1 $ est impair.
Ainsi, pour tout nombre entier $ x $, la somme $ A + B $ est un nombre impair.