Déterminer un antécédent par le calcul
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Soit $ f $ une fonction et $ k $ un nombre réel.
Les antécédents de $ k $ par $ f $ sont les valeurs de $ x $ telles que $ f\left(x\right) = k $.
Un nombre peut avoir aucun, un ou plusieurs antécédent(s).
Méthode
Pour déterminer les antécédents d'un nombre $ k $ par une fonction $ f $ :
- Poser l'équation $ f\left(x\right) = k $.
- Remplacer $ f\left(x\right) $ par la formule qui définit la fonction.
- Résoudre l'équation obtenue.
- Conclure en donnant le ou les antécédent(s).
Un seul antécédent
Soit la fonction $ f $ définie par $ f\left(x\right) = 3x - 7 $.
Déterminer l'antécédent de $ 5 $ par $ f $.
Étape 1 : on pose l'équation $ f\left(x\right) = 5 $.
Étape 2 : on remplace $ f\left(x\right) $ par sa formule :
$ 3x - 7 = 5 $
Étape 3 : on résout l'équation :
$ 3x = 5 + 7 $
$ 3x = 12 $
$ x = \dfrac{12}{3} $
$ x = 4 $
Étape 4 : le nombre $ 5 $ a un seul antécédent par $ f $ : c'est $ 4 $.
On peut vérifier : $ f\left(4\right) = 3 \times 4 - 7 = 12 - 7 = 5 $.
Deux antécédents
Soit la fonction $ g $ définie par $ g\left(x\right) = x^{2} $.
Déterminer les antécédents de $ 9 $ par $ g $.
Étape 1 : on pose l'équation $ g\left(x\right) = 9 $.
Étape 2 : on remplace $ g\left(x\right) $ par sa formule :
$ x^{2} = 9 $
Étape 3 : on cherche les nombres dont le carré vaut $ 9 $.
On sait que $ 3^{2} = 9 $ et $ \left(-3\right)^{2} = 9 $.
Étape 4 : le nombre $ 9 $ a deux antécédents par $ g $ : ce sont $ 3 $ et $ -3 $.
Remarque
Le nombre d'antécédents dépend de la fonction :
- Avec une fonction du type $ f\left(x\right) = ax + b $ (fonction affine), chaque nombre a exactement un seul antécédent.
- Avec une fonction du type $ f\left(x\right) = x^{2} $, un nombre positif a deux antécédents, $ 0 $ a un seul antécédent et un nombre négatif n'a aucun antécédent.
Attention
Ne pas confondre image et antécédent :
- L'image de $ a $ par $ f $, c'est le résultat $ f\left(a\right) $ : on remplace dans la formule.
- L'antécédent de $ k $ par $ f $, c'est la valeur $ x $ telle que $ f\left(x\right) = k $ : on résout une équation.