Calculer un volume ou une aire en situation
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Pour calculer le volume d'un solide ou l'aire d'une sphère :
- Identifier le solide et choisir la formule adaptée.
- Extraire les données utiles de l'énoncé (rayon, hauteur, dimensions de la base).
- Calculer les grandeurs intermédiaires si nécessaire (aire de la base, hauteur par Pythagore, conversion rayon/diamètre).
- Appliquer la formule.
- Donner la valeur exacte (avec $ \pi $), puis l'arrondi demandé avec l'unité.
Attention
Piège fréquent : l'énoncé donne souvent le diamètre et non le rayon. Il faut toujours diviser par 2 avant d'appliquer la formule.
De même, ne pas confondre la hauteur d'un solide (perpendiculaire à la base) avec son arête latérale (oblique).
Volume d'une boule (piège diamètre/rayon)
Une balle a un diamètre de $ 18 $ cm. Calculer son volume. Donner la valeur exacte puis l'arrondi au cm³.
Étape 1 : il s'agit d'une boule. On utilise la formule $ V = \dfrac{4}{3} \times \pi \times r^3 $.
Étape 2 : l'énoncé donne le diamètre $ d = 18 $ cm. On en déduit le rayon :
$ r = \dfrac{18}{2} = 9 $ cm
Étape 3 : on applique la formule :
$ V = \dfrac{4}{3} \times \pi \times 9^3 $
$ V = \dfrac{4}{3} \times \pi \times 729 $
$ V = \dfrac{2~916}{3} \times \pi $
$ V = 972\pi $
Étape 4 : le volume de la balle est $ 972\pi $ cm³, soit environ 3 054 cm³.
Volume d'un cône (hauteur à calculer)
Un cône de révolution a un rayon de base $ R = 6 $ cm et une arête latérale (ou génératrice) $ g = 10 $ cm. Calculer son volume. Donner la valeur exacte puis l'arrondi au cm³.
Étape 1 : on utilise $ V = \dfrac{1}{3} \times \pi R^2 \times h $, mais la hauteur $ h $ n'est pas donnée directement.
Étape 2 : le triangle formé par la hauteur $ h $, le rayon $ R $ et la génératrice $ g $ est rectangle en le centre de la base. D'après le théorème de Pythagore :
$ g^2 = R^2 + h^2 $
$ 10^2 = 6^2 + h^2 $
$ 100 = 36 + h^2 $
$ h^2 = 64 $
$ h = 8 $ cm
Étape 3 : on applique la formule :
$ V = \dfrac{1}{3} \times \pi \times 6^2 \times 8 $
$ V = \dfrac{1}{3} \times \pi \times 36 \times 8 $
$ V = \dfrac{288}{3} \times \pi $
$ V = 96\pi $
Étape 4 : le volume du cône est $ 96\pi $ cm³, soit environ 302 cm³.
Aire d'une sphère (conversion d'unités)
Une sphère a un rayon de $ 0{,}5 $ dm. Calculer son aire en cm². Donner la valeur exacte puis l'arrondi au cm².
Étape 1 : on utilise la formule $ \mathscr{A} = 4 \times \pi \times r^2 $.
Étape 2 : on convertit le rayon en centimètres :
$ r = 0{,}5 \text{ dm} = 5 \text{ cm} $
Étape 3 : on applique la formule :
$ \mathscr{A} = 4 \times \pi \times 5^2 $
$ \mathscr{A} = 4 \times 25 \times \pi $
$ \mathscr{A} = 100\pi $
Étape 4 : l'aire de la sphère est $ 100\pi $ cm², soit environ 314,2 cm².
Remarque
Pense à vérifier la cohérence des unités avant de calculer : toutes les longueurs doivent être dans la même unité. Le volume s'exprime en unité³ (cm³, m³, dm³) et l'aire en unité² (cm², m²).
Rappel utile : $ 1 \text{ dm}^3 = 1 \text{ L} $ et $ 1 \text{ m}^3 = 1~000 \text{ L} $.