Surface d’un heptaèdre
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$ ABCDEFGH $ est un cube de côté $ 10\, \text{cm} $.
On coupe ce cube par un plan $ BEG $ et l'on retire le tétraèdre $ BEFG $ de façon à obtenir l'heptaèdre représenté ci-dessous.
- Combien de sommets, de côtés, et de faces possède cet heptaèdre ?
- Que peut-on dire du triangle $ ABE $ ?
- Que peut-on dire du triangle $ BEG $ ?
- Quelle est l'aire du triangle $ ABE $ ?
- Calculer la hauteur du triangle $ BEG $ issue de l'un de ses sommets. En déduire l'aire du triangle $ BEG $. On donnera la réponse exacte puis la réponse en cm puis en cm$ ^2 $ arrondie au centième près.
- En déduire l'aire totale de l'heptaèdre.
Corrigé
- L'heptaèdre formé après avoir retiré le tétraèdre $ BEFG $ possède 7 sommets, 12 arêtes, et 7 faces.
- Le triangle $ ABE $ est un triangle rectangle isocèle en $ A $, car $ [AB] $ et $ [AE] $ sont des arêtes perpendiculaires du cube et $ AB = AE $.
- Le triangle $ BEG $ est formé par les points du plan de coupe. Ce triangle est équilatéral ; on peut, en effet, calculer les longueurs BE, BG et EG. Ce sont les hypoténuses de triangles rectangles isocèles dont les côtés de l'angle droit mesure $ 10 $ cm $ $. Elles mesurent donc toutes les trois $ 10 \sqrt{ 2 } $cm (on peut retrouver ce résultat avec le théorème de Pythagore) .
Pour calculer l'aire du triangle $ ABE $, on utilise la formule de l'aire d'un triangle :
$ \text{Aire}(ABE) = \dfrac{1}{2} \times AB \times AE = \dfrac{1}{2} \times 10 \times 10 = 50\, \text{cm}^2. $Pour calculer la hauteur du triangle équilatéral $ BEG $, on applique la formule de la hauteur $ h $ pour un triangle équilatéral (que l'on peut retrouver avec le théorème de Pythagore) :
$ h = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \times \text{côté} =\dfrac{\sqrt{3}}{2} \times 10\sqrt{2} = 5\sqrt{6}\, \text{cm}. $L'aire du triangle $ BEG $ se calcule alors par :
$ \text{Aire}(BEG) = \dfrac{1}{2} \times 10\sqrt{2} \times 5\sqrt{6} = 50\sqrt{3} \approx 86{,}60\, \text{cm}^2. $Pour calculer l'aire totale de l'heptaèdre, on prend en compte les surfaces suivantes :
- Trois triangles rectangles isocèles similaires à $ ABE $, dont chacun a une aire de $ 50\, \text{cm}^2 $.
- Un triangle équilatéral $ BEG $, dont l'aire est de $ 86{,}60 \, \text{cm}^2 $.
- Trois faces carrées identiques à $ ABCD $, chacune ayant une aire de $ 100\, \text{cm}^2 $ (puisque l'aire de chaque carré est $ 10^2 $).
L'aire totale de l'heptaèdre est donc :
$ A \approx 3 \times 50 + 86{,}60 + 3 \times 100 = 150 + 86{,}60 + 300 = 536{,}60\, \text{cm}^2. $