Calculer une probabilité d’union avec la formule p(A∪B)
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Pour calculer la probabilité d'une union $A \cup B$ (« $A$ ou $B$ »), on applique la formule :
En pratique, on procède en quatre étapes :
- Étape 1 : Identifier clairement les deux événements $A$ et $B$.
- Étape 2 : Calculer $p(A)$ et $p(B)$ séparément.
- Étape 3 : Calculer $p(A \cap B)$ (probabilité que $A$ et $B$ se réalisent simultanément).
- Étape 4 : Appliquer la formule $p(A \cup B) = p(A) + p(B) - p(A \cap B)$.
Remarque
Cas particulier : lorsque $A$ et $B$ sont incompatibles ($A \cap B = \varnothing$), la formule se simplifie en :
Tirage dans un jeu de 52 cartes
On tire une carte au hasard dans un jeu de 52 cartes. Quelle est la probabilité d'obtenir un cœur ou une figure (Valet, Dame ou Roi) ?
Étape 1 : On note $A$ l'événement « la carte est un cœur » et $B$ l'événement « la carte est une figure ».
Étape 2 : Il y a 13 cœurs et $3 \times 4 = 12$ figures (Valet, Dame, Roi dans chacune des 4 couleurs).
Étape 3 : L'intersection $A \cap B$ contient les cartes qui sont à la fois un cœur et une figure, c'est-à-dire le Valet, la Dame et le Roi de cœur : 3 cartes.
Étape 4 : On applique la formule :
Sondage dans une classe
Dans une classe de 30 élèves, 18 pratiquent un sport, 12 font de la musique, et 7 pratiquent un sport et font de la musique. On choisit un élève au hasard. Quelle est la probabilité qu'il pratique un sport ou fasse de la musique ?
Étape 1 : On note $S$ : « l'élève pratique un sport » et $M$ : « l'élève fait de la musique ».
Étape 2 : En situation d'équiprobabilité :
Étape 3 : 7 élèves sont dans les deux groupes :
Étape 4 : On en déduit :
Attention
Ne pas oublier de soustraire $p(A \cap B)$ : sans cette soustraction, les éléments communs aux deux événements seraient comptés deux fois. La formule $p(A \cup B) = p(A) + p(B)$ n'est valable que si $A$ et $B$ sont incompatibles.