Probabilités : tirage d’un jeton dans un sac
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Un sac opaque contient $15$ jetons indiscernables au toucher. Chaque jeton est caractérisé par sa couleur et sa forme :
- $6$ jetons rouges, dont $4$ ronds et $2$ carrés ;
- $5$ jetons verts, dont $1$ rond et $4$ carrés ;
- $4$ jetons bleus, dont $2$ ronds et $2$ carrés.
On tire un jeton au hasard dans le sac. On considère les événements :
- $R$ : « le jeton tiré est rouge »
- $D$ : « le jeton tiré est rond »
- Calculer $p\left(R\right)$ et $p\left(D\right)$.
- Décrire par une phrase l'événement $R \cap D$ puis calculer $p\left(R \cap D\right)$.
- En déduire $p\left(R \cup D\right)$.
Corrigé
Les jetons sont indiscernables au toucher et tirés au hasard : on est en situation d'équiprobabilité sur les $15$ jetons.
Il y a $6$ jetons rouges parmi les $15$ du sac, donc :
$p\left(R\right) = \dfrac{6}{15} =$ $\mathbf{\dfrac{2}{5}}$Le nombre de jetons ronds est $4 + 1 + 2 = 7$, donc :
$\mathbf{p\left(D\right) = \dfrac{7}{15}}$L'événement $R \cap D$ correspond à « le jeton tiré est rouge et rond ». Il y a $4$ jetons rouges et ronds, donc :
$\mathbf{p\left(R \cap D\right) = \dfrac{4}{15}}$D'après la formule de l'union :
$p\left(R \cup D\right) = p\left(R\right) + p\left(D\right) - p\left(R \cap D\right) = \dfrac{6}{15} + \dfrac{7}{15} - \dfrac{4}{15}$
D'où :$\mathbf{p\left(R \cup D\right) = \dfrac{9}{15} = \dfrac{3}{5}}$