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Probabilités en Seconde Exercices

Probabilités : enquête sur les langues étrangères

Durée estimée
15 minutes
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Objectif travaillé

Dans un lycée, on interroge $150$ élèves de Seconde sur les langues étrangères qu'ils étudient. Chaque élève peut étudier une, deux, trois langues, ou aucune. Les résultats sont :

  • $120$ élèves étudient l'anglais ;
  • $60$ élèves étudient l'espagnol ;
  • $30$ élèves étudient l'allemand ;
  • $45$ élèves étudient à la fois l'anglais et l'espagnol ;
  • $20$ élèves étudient à la fois l'anglais et l'allemand ;
  • $10$ élèves étudient à la fois l'espagnol et l'allemand ;
  • $5$ élèves étudient les trois langues.

On choisit un élève au hasard parmi les $150$ interrogés. On note :

  • $A$ : « l'élève étudie l'anglais »
  • $E$ : « l'élève étudie l'espagnol »
  • $D$ : « l'élève étudie l'allemand »
  1. Calculer le nombre d'élèves qui étudient au moins une langue étrangère, puis en déduire le nombre d'élèves qui n'en étudient aucune.
  2. Calculer $p\left(A \cup E \cup D\right)$.
  3. Calculer la probabilité qu'un élève étudie exactement deux langues.
  4. Calculer $p\left(A \cap \overline{E}\right)$. Interpréter ce résultat par une phrase.

Corrigé

Le choix se fait au hasard parmi les $150$ élèves : on est en situation d'équiprobabilité.

  1. Pour compter sans risque de double comptage, on remplit un diagramme de Venn à trois ensembles en partant du centre vers l'extérieur.
    On commence par les 5 élèves qui étudient les trois langues (zone centrale). On en déduit chaque zone d'intersection de deux langues :

    • anglais et espagnol uniquement : $45 - 5 = 40$ élèves
    • anglais et allemand uniquement : $20 - 5 = 15$ élèves
    • espagnol et allemand uniquement : $10 - 5 = 5$ élèves

    Puis chaque zone d'une seule langue :

    • anglais uniquement : $120 - 40 - 15 - 5 = 60$ élèves
    • espagnol uniquement : $60 - 40 - 5 - 5 = 10$ élèves
    • allemand uniquement : $30 - 15 - 5 - 5 = 5$ élèves
    Diagramme de Venn des trois langues avec l'effectif de chaque zone

    Le nombre d'élèves qui étudient au moins une langue est la somme de toutes ces zones :
    $60 + 10 + 5 + 40 + 15 + 5 + 5 = 140$ élèves.

    Il y a donc $140$ élèves qui étudient au moins une langue.

    On en déduit le nombre d'élèves qui n'étudient aucune langue :

    $\mathbf{150 - 140 = 10}$ élèves

  2. L'événement $A \cup E \cup D$ correspond aux $140$ élèves qui étudient au moins une langue, dénombrés à la question précédente sur le diagramme. On est en situation d'équiprobabilité, donc :

    $\mathbf{p\left(A \cup E \cup D\right) = \dfrac{140}{150} = \dfrac{14}{15}}$

  3. Un élève étudie exactement deux langues lorsqu'il appartient à une intersection de deux ensembles mais pas aux trois.

    • Anglais et espagnol uniquement : $45 - 5 = 40$ élèves
    • Anglais et allemand uniquement : $20 - 5 = 15$ élèves
    • Espagnol et allemand uniquement : $10 - 5 = 5$ élèves

    Ces trois groupes sont disjoints. Leur effectif total est $40 + 15 + 5 = 60$ élèves. La probabilité cherchée est donc :

    $\mathbf{p = \dfrac{60}{150} = \dfrac{2}{5}}$

  4. L'événement $A \cap \overline{E}$ correspond aux élèves qui étudient l'anglais mais pas l'espagnol. Leur effectif est :
    $|A| - |A \cap E| = 120 - 45 = 75$ élèves
    D'où :

    $\mathbf{p\left(A \cap \overline{E}\right) = \dfrac{75}{150} = \dfrac{1}{2}}$

    Ainsi, un élève sur deux interrogé dans ce lycée étudie l'anglais sans étudier l'espagnol.