Probabilités : choix d’un menu au restaurant
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Un restaurant propose chaque jour une formule composée d'une entrée, d'un plat et d'un dessert. La carte du jour est la suivante :
- Entrées ($3$ choix) : salade, soupe, tarte salée ;
- Plats ($4$ choix) : poisson, poulet, bœuf, risotto végétarien ;
- Desserts ($2$ choix) : glace, fruit.
Un client choisit sa formule au hasard, chaque combinaison étant équiprobable.
On considère les événements :
- $V$ : « le plat choisi est végétarien »
- $G$ : « le dessert choisi est la glace »
- Combien de formules différentes peut-on composer ?
- Calculer $p\left(V\right)$ et $p\left(G\right)$.
- Calculer $p\left(V \cap G\right)$ puis $p\left(V \cup G\right)$.
- Calculer la probabilité de l'événement « le plat n'est pas végétarien et le dessert est la glace ».
Corrigé
Une formule est un triplet (entrée, plat, dessert). D'après le principe multiplicatif, le nombre total de formules est :
$3 \times 4 \times 2 = \mathbf{24}$ formulesLes formules contenant le risotto végétarien correspondent au choix libre de l'entrée et du dessert : $3 \times 1 \times 2 = 6$ formules. D'où :
$p\left(V\right) = \dfrac{6}{24} = \mathbf{\dfrac{1}{4}}$Les formules avec la glace en dessert sont au nombre de $3 \times 4 \times 1 = 12$. D'où :
$p\left(G\right) = \dfrac{12}{24} = \mathbf{\dfrac{1}{2}}$L'événement $V \cap G$ correspond aux formules ayant à la fois le risotto végétarien et la glace. Leur nombre est $3 \times 1 \times 1 = 3$, d'où :
$p\left(V \cap G\right) = \dfrac{3}{24} = \mathbf{\dfrac{1}{8}}$En appliquant la formule de l'union :
$p\left(V \cup G\right) = p\left(V\right) + p\left(G\right) - p\left(V \cap G\right) = \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{8} = \dfrac{2}{8} + \dfrac{4}{8} - \dfrac{1}{8}$$\mathbf{p\left(V \cup G\right) = \dfrac{5}{8}}$L'événement considéré est $\overline{V} \cap G$. Il regroupe les formules dont le plat n'est pas le risotto ($3$ choix de plat) et dont le dessert est la glace ($1$ choix). Leur nombre est $3 \times 3 \times 1 = 9$, donc :
$\mathbf{p\left(\overline{V} \cap G\right) = \dfrac{9}{24} = \dfrac{3}{8}}$
Pour réviser : Calculer une probabilité d'union avec la formule p(A∪B)