$A^{2}=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

$A^{3}=A^{2}\times A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}1 & 1 \\ 0 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

$A^{4}=A^{3}\times A=\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 1\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}1 & 1 \\ 0 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 4 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

$A\times B=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}1 & a \\ 0 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & a+1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

On remarque que pour $a= - 1$, $A\times B=I$

On a donc :

$\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}1 & - 1 \\ 0 & 1\end{pmatrix}=I$

On montre également, par un calcul direct, que :

$\begin{pmatrix} 1 & - 1 \\ 0 & 1\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}1 & 1 \\ 0 & 1\end{pmatrix}=I$

Donc $A$ est inversible et $A^{ - 1}=\begin{pmatrix} 1 & - 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ (voir définition)