Suite de fonctions - Bac S Centres étrangers 2009
Exercice 4
6 points - Commun à tous les candidats
Soit n un entier naturel.
On note fn, la fonction définie sur l'ensemble R des nombres réels par :
fn(x)=1+e−xe−nx.
On note (Cn) la courbe représentative de fn dans un repère orthogonal (O;i⃗,j⃗). Les courbes (C0),(C1),(C2) et (C3) sont représentées ci-dessous :
Partie A
Quelques propriétés des fonctions fn et des courbes (Cn)
Démontrer que pour tout entier naturel n les courbes (Cn) ont un point A en commun. On préciser ses coordonnées.
Étude de la fonction f0
Étudier le sens de variation de f0.
Préciser les limites de la fonction f0 en −∞ et +∞. Interpréter graphiquement ces limites.
Dresser le tableau de variation de fonction f0 sur R.
Étude de la fonction f1
Démontrer que f0(x)=f1(−x) pour tout nombre réel x.
En déduire les limites de la fonction f1 en −∞ et +∞, ainsi que son sens de variation.
Donner une interprétation géométrique de 3. a. pour les courbes (C0) et (C1).
Étude de la fonction fn pour n⩾2
Vérifier que pour tout entier naturel n⩾2 et pour tout nombre réel x, on a :
fn(x)=enx+e(n−1)x1.
Étudier les limites de la fonction fn en −∞ et en +∞.
Calculer la dérivée fn′(x) et dresser le tableau de variations de la fonction fn sur R.
Partie B
Étude d'une suite liée aux fonctions fn
On pose, pour tout entier naturel n : un=∫01fn(x)dx.
Calculer u1 puis montrer que u0+u1=1. En déduire u0.
Démontrer que, pour tout entier n : 0⩽un⩽∫01e−nxdx.
Calculer l'intégrale : ∫01e−nxdx. En déduire que la suite (un) est convergente et préciser sa limite.
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