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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Suite de fonctions - Bac S Centres étrangers 2009

Exercice 4

6 points - Commun à tous les candidats

Soit nn un entier naturel.

On note fnf_{n}, la fonction définie sur l'ensemble R\mathbb{R} des nombres réels par :

fn(x)=enx1+ex.f_{n}\left(x\right)=\frac{\text{e}^{ - nx}}{1+\text{e}^{ - x}}.

On note (Cn)\left(C_{n}\right) la courbe représentative de fnf_{n} dans un repère orthogonal (O;i,j)\left(O; \vec{i}, \vec{j}\right). Les courbes (C0),(C1),(C2)\left(C_{0}\right),\left(C_{1}\right),\left(C_{2}\right) et (C3)\left(C_{3}\right) sont représentées ci-dessous :

Bac_S_Etrangers_2009

Partie A

Quelques propriétés des fonctions fnf_{n} et des courbes (Cn)\left(C_{n}\right)

  1. Démontrer que pour tout entier naturel nn les courbes (Cn)\left(C_{n}\right) ont un point A en commun. On préciser ses coordonnées.

  2. Étude de la fonction f0f_{0}

    1. Étudier le sens de variation de f0f_{0}.

    2. Préciser les limites de la fonction f0f_{0} en - \infty et ++ \infty . Interpréter graphiquement ces limites.

    3. Dresser le tableau de variation de fonction f0f_{0} sur R\mathbb{R}.

  3. Étude de la fonction f1f_{1}

    1. Démontrer que f0(x)=f1(x)f_{0}\left(x\right)= f_{1}\left( - x\right) pour tout nombre réel xx.

    2. En déduire les limites de la fonction f1f_{1} en - \infty et ++ \infty , ainsi que son sens de variation.

    3. Donner une interprétation géométrique de 3. a. pour les courbes (C0)\left(C_{0}\right) et (C1)\left(C_{1}\right).

  4. Étude de la fonction fnf_{n} pour n2n \geqslant 2

    1. Vérifier que pour tout entier naturel n2n \geqslant 2 et pour tout nombre réel xx, on a :

      fn(x)=1enx+e(n1)xf_{n}\left(x\right)=\frac{1}{\text{e}^{nx}+\text{e}^{\left(n - 1\right)x}}.

    2. Étudier les limites de la fonction fnf_{n} en - \infty et en ++ \infty .

    3. Calculer la dérivée fn(x)f_{n}^{\prime}\left(x\right) et dresser le tableau de variations de la fonction fnf_{n} sur R\mathbb{R}.

 

Partie B

Étude d'une suite liée aux fonctions fnf_{n}

On pose, pour tout entier naturel nn : un=01fn(x)dxu_{n}=\int_{0}^{1} f_{n}\left(x\right) \text{d}x.

  1. Calculer u1u_{1} puis montrer que u0+u1=1u_{0}+u_{1}=1. En déduire u0u_{0}.

  2. Démontrer que, pour tout entier nn : 0un01enxdx0 \leqslant u_{n} \leqslant \int_{0}^{1} \text{e}^{ - nx} \text{d}x.

  3. Calculer l'intégrale : 01enxdx\int_{0}^{1} \text{e}^{ - nx} \text{d}x. En déduire que la suite (un)\left(u_{n}\right) est convergente et préciser sa limite.