Exercice 2

5 points - Réservé aux candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

1. On note (E) l'équation $3x+2y=29$ où $x$ et $y$ sont deux nombres entiers relatifs.

   1. Déterminer un couple d'entiers solution de l'équation (E).

   2. Déterminer tous les couples d'entiers relatifs solutions de l'équation (E).

   3. Préciser les solutions de l'équation (E) pour lesquelles on a à la fois $x \geqslant 0$ et $y \geqslant 0$ ;

2. Intersections d'un plan avec les plans de coordonnées

   L'espace est muni du repère orthonormal $\left(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\right)$ et on désigne par $\left(P\right)$ le plan d'équation $3x+2y=29$.

   1. Démontrer que $\left(P\right)$ est parallèle à l'axe $\left(Oz\right)$ de vecteur directeur $\vec{k}$.

   2. Déterminer les coordonnées des points d'intersection du plan $\left(P\right)$ avec les axes $\left(Ox\right)$ et $\left(Oy\right)$ de vecteurs directeurs respectifs $\vec{i}$ et $\vec{j}$.

   3. Faire une figure et tracer les droites d'intersection du plan $\left(P\right)$ avec les trois plans de coordonnées.

   4. Sur la figure précédente, placer sur la droite d'intersection des plans $\left(P\right)$ et $\left(xOy\right)$, les points dont les coordonnées sont à la fois entières et positives.

3. Étude d'une surface

   $\left(S\right)$ est la surface d'équation $4z=xy$ dans le repère $\left(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\right)$.

   Les figures suivantes représentent les intersections de $\left(S\right)$ avec certains plans de l'espace.

   

   1. $S_{1}$ désigne la section de la surface $\left(S\right)$ par le plan $\left(xOy\right)$.

      Une des figures données représente $S_{1}$ laquelle ?

   2. $S_{2}$ désigne la section de $\left(S\right)$ par le plan $\left(R\right)$ d'équation $z=1$.

      Une des figures données représente $S_{2}$, laquelle ?

   3. $S_{3}$ désigne la section de $\left(S\right)$ par le plan d'équation $y=8$.

      Une des figures données représente $S_{3}$, laquelle ?

   4. $S_{4}$ désigne la section de $\left(S\right)$ par le plan $\left(P\right)$ d'équation $3x+2y=29$ de la question 2.

      Déterminer les coordonnées des points communs à $S_{4}$ et $\left(P\right)$ dont l'abscisse $x$ et l'ordonnée $y$ sont des entiers naturels vérifiant l'équation $3x+2 y=29$.