Exercice 2

4 points - Commun à tous candidats

Un pépiniériste a planté trois variétés de fleurs dans une prairie de quelques hectares : des violettes, des primevères et des marguerites. Il se demande s'il peut considérer que sa prairie contient autant de fleurs de chaque variété. Il cueille au hasard 500 fleurs et obtient les résultats suivants :

1. Calculer les fréquences $f_{V}$ d'une fleur de variété Violette, $f_{P}$ d'une fleur de variété Primevère et $f_{M}$ d'une fleur de variété Marguerite. On donnera les valeurs décimales exactes.

2. On note $d^{2}_{obs} =\left(f_{V} - \frac{1}{3}\right)^{2}+\left(f_{P} - \frac{1}{3}\right)^{2}+\left(f_{M} - \frac{1}{3}\right)^{2}$.

   Calculer $500d^{2}_{obs}$. On donnera une valeur approchée arrondie au millième.

3. Le pépiniériste, ne voulant pas compter les quelques milliards de fleurs de sa prairie, opère sur ordinateur en simulant le comptage, au hasard, de 500 fleurs suivant la loi équirépartie. Il répète 2000 fois l'opération et calcule à chaque fois la valeur de $500d^{2}_{obs}$. Ses résultats sont regroupés dans le tableau suivant :

   Intervalle auquel appartient $500d^{2}_{obs}$	[0 ; 0,5[	[0,5 ; 1[	[1 ; 1,5[	[1,5 ; 2[	[2 ; 2,5[
   Nombre par intervalle	163	439	458	350	231

   Intervalle auquel appartient $500d^{2}_{obs}$	[2,5 ; 3[	[3 ; 3,5[	[3,5 ; 4[	[4 ; 4,5[	[4,5 ; 5[
   Nombre par intervalle	161	80	47	37	34

   Par exemple: le nombre $500d^{2}_{obs}$ apparaît 163 fois dans l'intervalle [0 ; 0,5[.

   On note $D_{9}$ le neuvième décile de cette série statistique.

   Montrer que $D_{9}\in \left[2,5;3\right[$.

4. En argumentant soigneusement la réponse, dire si pour la série observée au début, on peut affirmer avec un risque inférieur à 10% que « la prairie est composée d'autant de fleurs de chaque variété ».