Maths-cours

COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Etude de fonctions - Bac ES Amérique du Nord 2009

Exercice 4

7 points - Commun à tous candidats

Les parties A et B sont indépendantes. Le candidat pourra utiliser les résultats préliminaires dans la partie A, même s'il ne les a pas établis.

Préliminaires

On admet les éléments du tableau de signes ci-dessous.

Exercice

Soit gg la fonction définie sur ]0;+[\left]0; +\infty \right[ par

g(x)=6lnx2x33g\left(x\right)=6\ln x - 2x^{3} - 3.

On désigne par gg^{\prime} la fonction dérivée de gg.

  1. Calculer g(x)g^{\prime}\left(x\right).

  2. En utilisant 1., déterminer le sens de variation de la fonction gg sur l'intervalle ]0;+[\left]0; +\infty \right[. On ne demande pas les limites dans cette question.

  3. En déduire que g(x)<0g\left(x\right) < 0 pour tout x]0;+[x\in \left]0; +\infty \right[.

Partie A

Soit ff la fonction définie sur l'intervalle ]0;+[\left]0; +\infty \right[ par

f(x)=x+3lnx2x2f\left(x\right)=x+\frac{3\ln x}{2x^{2}}

  1. Déterminer les limites de ff en ++\infty et en 00.

  2. On désigne par ff^{\prime} la fonction dérivée de la fonction ff.

    1. Montrer que, pour tout x]0;+[x\in \left]0; +\infty \right[, f(x)=g(x)2x3f^{\prime}\left(x\right)= - \frac{g\left(x\right)}{2x^{3}}.

    2. En déduire le tableau de variations de la fonction ff sur l'intervalle ]0;+[\left]0; +\infty \right[.

Partie B

  1. On définit la fonction FF sur I'intervalle ]0;+[\left]0; +\infty \right[ par

    F(x)=12x232×1+lnxxF\left(x\right)=\frac{1}{2}x^{2} - \frac{3}{2} \times \frac{1+\ln x}{x}.

    Montrer que la fonction FF est une primitive de la fonction ff sur l'intervalle ]0;+[\left]0; +\infty \right[.

  2. On a représenté ci-dessous, dans un repère orthogonal, la courbe représentative de ff notée CfC_{f}.

    On a colorié le domaine limité par CfC_{f}, l'axe des abscisses et les droites d'équations x=1x=1 et x=ex= e.

    Donner la valeur exacte, exprimée en unités d'aire, de l'aire de ce domaine, puis une valeur approchée arrondie au centième.

    Fonction et aire