Etude de fonctions - Bac ES Amérique du Nord 2009
Exercice 4
7 points - Commun à tous candidats
Les parties A et B sont indépendantes. Le candidat pourra utiliser les résultats préliminaires dans la partie A, même s'il ne les a pas établis.
Préliminaires
On admet les éléments du tableau de signes ci-dessous.
Soit la fonction définie sur par
.
On désigne par la fonction dérivée de .
Calculer .
En utilisant 1., déterminer le sens de variation de la fonction sur l'intervalle . On ne demande pas les limites dans cette question.
En déduire que pour tout .
Partie A
Soit la fonction définie sur l'intervalle par
Déterminer les limites de en et en .
On désigne par la fonction dérivée de la fonction .
Montrer que, pour tout , .
En déduire le tableau de variations de la fonction sur l'intervalle .
Partie B
On définit la fonction sur I'intervalle par
.
Montrer que la fonction est une primitive de la fonction sur l'intervalle .
On a représenté ci-dessous, dans un repère orthogonal, la courbe représentative de notée .
On a colorié le domaine limité par , l'axe des abscisses et les droites d'équations et .
Donner la valeur exacte, exprimée en unités d'aire, de l'aire de ce domaine, puis une valeur approchée arrondie au centième.