Exercice 3

5 points - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une justification de la réponse choisie.

Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point. Toutefois, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.

1. Proposition 1 : "Pour tout entier naturel n non nul, n et 2n+1 sont premiers entre eux."

2. Soit $x$ un entier relatif.
   Proposition 2 : "$x^{2}+x+3\equiv 0$ (modulo 5) si et seulement si $x \equiv 1$ (modulo 5)"

3. Soint N un entier naturel dont l'écriture en base 10 est $\overline{aba7}$.
   Proposition 3 : "Si N est divisible par 7 alors a + b est divisible par 7."

4. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct $\left(O; \vec{u} , \vec{v}\right)$
   Proposition 4 : "La similitude directe de rapport 2, d'angle $\frac{\pi }{6}$ et de centre le point d'affixe $1 - i$ a pour écriture complexe $z^{\prime}=\left(\sqrt{3}+i\right)z+\sqrt{3} - \sqrt{3}i$."

5. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct $\left(O; \vec{u}, \vec{v}\right)$ On considère un point A. On désigne par $a$ son affixe.

   On note $s$ la réflexion d'axe $\left(O; \vec{u}\right)$ et $s_{A}$ la symétrie centrale de centre A.
   Proposition 5 : "L'ensemble des nombres complexes a tels que $s \circ s_{A}=s_{A} \circ s$ est l'ensemble des nombres réels."